Chapitre 3

Chapitre 3.
Dérivées et primitives
Activités et applications

2x(x2 + 1) – (x2 – 1)(2x)
4x
= 2
.
(x2 + 1)2
(x + 1)2
Pour tout réel x, F’(x) = f(x) donc F est une primitive de f sur ‫ޒ‬.
2. G est dérivable sur ‫ޒ‬.
G = uv avec u(x) = x et v(x) = cos(2x).
G’(x) = u’(x) v(x) + u(x)v’(x) avec u’(x) = 1 et v’(x) = – 2 sin(2x).
G’(x) = cos(2x) – 2x sin(2x).
On n’a pas, sur ‫ޒ‬, G’(x) = g(x) ; donc G n’est pas une primitive de g sur ‫ޒ‬.
F’(x) =

1. Dérivée d’une fonction de la forme x ‫( ۋ‬u(x))n et x ‫ ۋ‬f(u(x))
Activité. Une formule serait bien utile

1. f’(x) = u’(x) × v(x) + u(x) × v’(x) avec v(x) = u(x) et v’(x) = u’(x) d’où f’(x) = u’(x) × u(x) + u(x) × u’(x) = 2u(x) × u’(x).
2. • g = f × u avec f = u2 donc g’(x) = f’(x) × u(x) + f(x) × u’(x) avec f’(x) = 2u(x) × u’(x) d’où g’(x) = 2u2(x) × u’(x) + u2(x) × u’(x) soit g’(x) = 3u2(x) × u’(x).
• Si g(x) = (2x + 1)3, g(x) = u3(x) avec u(x) = 2x + 1 donc g’(x) = 3u2(x) × u’(x) avec u’(x) = 2 d’où g’(x) = 3(2x + 1)2 × 2 = 6(2x + 1)2.
3. h(x) = u3(x) avec u(x) = 5 – x.
Sur ‫ޒ‬, u est dérivable donc h est dérivable. h’(x) = 3u2(x) × u’(x) avec u’(x) = – 1 donc h’(x) = 3(5 – x)2 × (– 1) ; h’(x) = – 3(5 – x)2.

Application 2
1. a) f(x) = xn avec n = 4 ; d’où une primitive F de f, la fonction F définie sur ‫ ޒ‬par F(x) =
F(x) =

xn+1 c’est-à-dire par n+1 x5
.
5

b) Les primitives de f sur ‫ ޒ‬sont les fonctions G définies par G(x) =

Application
1. f(x) = 2΂u(x)΃3 avec u(x) = x2 + 3x – 1.

x5
+ k ; k réel quelconque.
5

π
4
mitive G de g sur ‫ޒ‬, la fonction G définie sur ‫ ޒ‬par
1
π
G(x) = – cos 2x –
.
2
4

2. g(x) = sin(ax + b) avec a = 2 et b = – — d’où une pri-

Sur ‫ޒ‬, u est dérivable donc f est dérivable. f’(x) = 2 × 3΂u(x)΃2 × u’(x) avec u’(x) = 2x + 3 d’où f’(x) = 6(x2 + 3x – 1)2 (2x + 3).
2. g(x) = 3΂u(x)΃–2 avec u(x) = x2 + 4.
Sur ‫ޒ‬, u est dérivable et u(x) ≠ 0 donc g est dérivable. g’(x) = 3 × (– 2) × ΂u(x)΃–3 × u’(x) avec u’(x) = 2x
– 12x d’où g’(x) = – 6(x2 + 4)–3 × (2x) ; g’(x) = 2
.
(x + 4)3

΂