PROPRIÉTÉ

f étant dérivable sur I, pour tout intervalle J inclus dans I :

• Si f’(x) > 0, pour tout x de J, alors f est strictement croissante sur J.
(Symbolisé par une flèche( dans le tableau de variations)
• Si f’(x) < 0, pour tout x de J, alors f est strictement décroissante sur J.
(Symbolisé par une flèche ( dans le tableau de variations)
• Si f’(x) = 0, pour tout x de J, alors f est constante sur J.
(Symbolisé par une flèche → dans le tableau de variations)

Remarque : On utilise généralement un seul tableau pour l’étude du signe de la dérivée et les variations de f.

2 Rappels sur les études de signe :

Pour étudier le signe de f’(x), on factorise si possible f’(x) sous la forme d’un produit ou d’un quotient d’expressions du premier ou du second degré dont on sait étudier le signe grâce aux règles suivantes :

• Signe de ax+b (a ≠ 0)
On détermine la valeur de x qui annule ax+b, puis on applique la règle : "signe de a après le 0".

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• Signe de ax²+bx+c (a ≠ 0) : on calcule le discriminant Δ = b²−4ac (sauf cas évidents) - Si Δ < 0, on applique la règle : "toujours du signe de a".

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- Si Δ = 0, on calcule la racine double : x1 = − b 2a On applique alors la règle : "toujours du signe de a et s’annule pour x = x1".

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- Si Δ > 0, on calcule les deux racines :

x1 = −b−√ Δ et x2 = −b+√Δ 2a 2a
.
On applique alors la règle : "signe de a à l’extérieur des racines".

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On suppose que x1<