Cour l1 maths : fonctions de plusieurs variables

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Chapitre 1
FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES
1 Définitions et notations
Tout n-uplet de réels (x1, x2, ..., xn) correspond dans l’espace à n dimensions noté
Rn :
* à un point X (x1, x2, ..., xn) * à un vecteur colonne X =


x1
x2
...
xn


Une fonction numérique f de n variables réelles est une application d’un ensemble Df
inclus dans Rn dans R .
Elle fait correspondre àtout n-uplet de réels X= (x1, x2, ..., xn) une image réelle
y = f(X) = f(x1, x2, ..., xn)
1.1 Exemple
L’étude de la demande de bière en Angleterre par R.STONE a mis en évidence la
formule: y = 1, 058. x0,136
1 . x−0,727
2 .x0,194
3 . x0,81
4
avec:
y = consommation de bière ; x1 = consommation totale d’un individu ; x2 = prix de
la bière ; x3 = indice général des prix ; x4 = degréalcoolique de la bière
1.2 Exemple
En statistique descriptive, les n observations d’une variable statistique X donnent des
calculs de grandeurs qui sont des fonctions de n variables réelles comme:
* moyenne arithmétique ¯xA = 1
n(x1 + x2 + ... + xn) = 1
n
n
i=1
xi
* moyenne géométrique ¯xG = (x1 × x2 × ... × xn)1/n = (
n
i=1
xi)1/n
* moyenne harmonique ¯xH = 1
1
n
(
1
x1
+
1
x2+...+
1
xn
)
= 1
1
n
n
i=1
1
xi
1
1.3 Exemple : fonctions usuelles en SES
* fonction affine f(x1, x2, ..., xn) =
n
i=1
aixi + b = a1x1 + a2x2 + ... + anxn + b
où b et les ai sont des constantes réelles.
* fonction de Cobb-Douglas f(x1, x2, ..., xn) = A xa1
1 xa2
2 ... xan
n = A
n
i=1
xai
i
2 Théorème de Schwarz
Si les dérivées secondes croisées d’une fonction f de nvariables sont définies et
continues en un point X alors elles sont égales en ce point:
2f
xi xj
(X) =
2f
xj xi
(X)
3 Matrice hessienne
3.1 Définition et notations
Soit une fonction f de Rn dans R de classe au moins C2. Les dérivées secondes
croisées vérifient donc la formule de Schwarz précédente.
La fonctionmatricielle de X appeléeD2f fait correspondre à tout point X0(x1, x2, ...,xn)
la matrice formée des dérivées secondes de f en X0.
Cette matrice carrée et symétrique est notée en un point X0:
Hf (X0) = D2f(X0) =
2f
2X
(X0)
=


f”x1x1(X0) f”x2x1(X0) ... f”xnx1(X0)
f”x1x2(X0) f”x2x2(X0) ... f”xnx2(X0)
... ... ... ...
f”x1xn(X0) f”x2xn(X0) ... f”xnxn(X0)


=


2f
x1 x1
(X0)
2f
x1 x2
(X0) ...
2f
x1 xn
(X0)
2f
x2 x1(X0)
2f
x2 x2
(X0) ...
2f
x2 xn
(X0)
... ... ... ...
2f
xn x1
(X0)
2f
xn x2
(X0) ...
2f
xn xn
(X0)


Remarquez que les indices des x aux dénominateurs s’écrivent comme ceux des emplacements
dans la matrice:
par exemple
2f
x2 x1
(X0) se trouve bien sur la ligne 2 et la colonne 1...mais on dérive
par rapport à x1 puis , ensuite, par rapport à x2.
2ou encore
2f
x1 xn
(X0) se trouve bien sur la ligne 1 et la colonne n...mais on dérive
par rapport à xn puis , ensuite, par rapport à x1.
3.2 Exemple
Soit la fonction f de R2 dans R telle que: X = (x, y) − z = f(X) = f(x, y) =
f(X0) = x3 + 2y2
alors on obtient:
Hf (X) =

6x 0
0 4

et en particulier, au point X0(2, 3) :
Hf (X0) =

12 0
0 4

3.3 Exemple
Soit la fonctionf de R2 dans R telle que: X = (x, y) − z = f(X) = f(x, y) =
ln(x2 + y2)
alors on obtient:
Hf (X) =


−2x2+2y2
(x2+y2)2
−4xy
(x2+y2)2
−4xy
(x2+y2)2
2x2−2y2
(x2+y2)2

= 2
(x2+y2)2

−x2 + y2 −2xy
−2xy x2 − y2

en particulier, au point X0(2, 3) :
Hf (X0) = 2
169

5 −12
−12 −5

3.4 Exemple
Soit la fonction f de R2 dans R telle que: X = (x, y) − z = f(X) = f(x, y)=
x3 − 4x2y + 5xy2 − 4y4
La fonction f est une fonction polynôme en x et en y donc elle est définie, continue
et dérivable à l’infini.
Les dérivées partielles de tout ordre p  N sont donc des fonctions continues. On
dit alors que f est une fonction de classe C sur R2.
On obtient:
Hf (X) =

6x − 8y −8x + 10y
−8x + 10y 10x − 48y2

en particulier, au point X0(2, 3) :
Hf (X0) =...
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