LE SECOND DEGRE

I- Fonctions polynômes de degré 2

1) Définition : Une fonction f définie sur  est une fonction polynôme de degré 2 s’il existe des nombres réels a (a  0), b et c tels que, pour tout nombre réel x : f (x) = ax² + bx + c. C’est la forme développée de f (x).
Exemple : f (x) = 2x² + 8x + 16. f est une fonction polynôme de degré 2.

2) Forme canonique : Soit f (x) = ax² + bx + c avec a  0. f(x) peut s’écrire : f (x) = a (x - )² +  où  = - et  = f (). C’est la forme canonique de f (x).

3) Variations et courbe représentative
Propriété : f est une fonction polynôme de degré 2, de forme canonique f (x) = a (x - )² + , avec a  0. Son tableau de variation est : a > 0 a < 0 x -   + 

f (x)



x
-   + 

f (x)



Représentation graphique : Dans un repère, la courbe représentative de f est une parabole de sommet S (, ) et qui admet pour axe de symétrie la droite d’équation x = .

S est un minimum S est un maximum

II- Equations du second degré

1) Discriminant d’une fonction polynôme de degré 2
Définition : Soit f (x) = ax² + bx + c avec a  0. La forme canonique de f est a (x - )² + , où
 - et  = - . Le nombre réel b² - 4ac, noté , s’appelle le discriminant de f.
2) Résolution de l’équation ax² + bx + c = 0, avec a  0 f (x) = a (x - )² - = a
1er cas :  > 0 f (x) = 0  a = 0  a = 0  x + = 0 ou x + = 0  x = ou x =
L’équation a deux solutions distinctes : x1 = et x2 = .
Alors f (x) = a (x – x1)(x – x2).

2ème cas :  = 0 f (x) = a f (x) = 0  x + = 0  x0 = -
3ème cas :  < 0 Alors : < 0. Donc : - > 0 et > 0.
Donc : ax² + bx + c > 0. L’équation f (x) = 0 n’a pas de solution.

Signe de 
 > 0
 = 0
 < 0
Solutions de ax² + bx + c = 0
x1