2nde - Cours

Les Nombres
I Les différents ensembles de nombres
1) Les entiers naturels
Définition : ce sont les premiers nombres que l’on a utilisé, N = {0; 1; 2; 3; . . . }.

2) Les entiers relatifs
Définition : ce sont les entiers naturels et leurs opposés : Z = {. . . ; −3; −2; −1; 0; 1; 2; 3; . . . }

3) Les décimaux
Définition : un nombre décimal est un quotient d’un entier relatif et d’une puissance de 10 : d =
L’ensemble de ces nombres est noté D

a où a ∈ Z et n ∈ N.
10n

4) Les rationnels
Définition : un rationnel est le quotient de deux entiers relatifs, c’est à dire l’ensemble des nombres de la forme et b ∈ Z, b = 0. L’ensemble de ces nombres est noté Q

a avec a ∈ Z b Proposition : un nombre rationnel est caractérisé par le fait que son écriture décimale comporte une période.
Exemple :

23
19
= 3, 285714285714. . . ;
= 6, 3333. . . .
7
3

5) Les réels
Définition : c’est l’ensemble de tous les nombres connus (du moins jusqu’en seconde...).
Il est usuellement représenté par une droite graduée et est noté R. Chaque nombre réel est représenté par un point de la droite graduée, et tout point de cette droite représente un réel.

− 23

0

1

2

7

π

Remarque : l’ensemble R contient les rationnels, mais aussi les nombres comme

2, π appelés irrationnels.

6) Lien entre les ensembles de nombres
Chaque rationnel est réel, on dit que l’ensemble Q est inclus dans l’ensemble R, ce que l’on note Q ⊂ R.
On a de plus D ⊂ Q ; Z ⊂ D et N ⊂ Z.
On peut alors écrire : N ⊂ Z ⊂ D ⊂ Q ⊂ R.

1

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II Techniques de calculs
1) Opposé et inverse
1. Opposé. Tout nombre réel possède un opposé vérifiant la propriété : la somme d’un nombre et de son opposé est toujours nulle.
2. Inverse. Tout nombre réel non nul possède un inverse vérifiant la propriété : le produit d’un nombre et de son inverse
1
est toujours égal à 1. L’inverse d’un réel non nul a admet pour inverse le nombre . a 2)