Courbes

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Chap 7

Courbes param´tr´es e e
1 Pr´liminaire : Fonctions ` valeurs vectorielles e a
E2  R2 est muni du produit scalaire et de la norme usuels. D´finition. Soit I un intervalle de R. Soit f : I Ñ R2 e . On dit que f a pour limite t ÞÑ pxptq, y ptqq en a si et seulement si : }f ptq ¡ } ÝÝÑ 0
t

 p 1, 2q

Ña
1 2

Propri´t´. f tend vers e e

en a si et seulement si :

6 8x tRappel. On dit qu’une fonction est de classe C1 lorsqu’elle est d´rivable et que sa d´riv´e est continue. e e e Propri´t´. f est de classe C1 si et seulement si les applications x et y sont de classe C1 . Dans ce cas, dt € e e I, f I ptq  pxI ptq, y I ptqq Propri´t´. Si les applications f , g : I Ñ R2 sont de classe C1 , alors pf ¤ g q : I Ñ R e e est de classe t ÞÑ f ptq ¤ g ptq C1 et pf ¤ gqI  pfI ¤ gq   pf ¤ gIq Propri´t´. Si l’application f : I e e

p q ÝÝÑ tÑa 7y ptq ÝÝÑ tÑa

Ñ R2 est de classe C1 et f ne s’annule pas sur I, alors }f } :
I t

Ñ R ˜ ÞÑ }f ptq}  f ptq ¤ f ptq }f }I  pf ¤ f q }f }
I

est de classe C1 et

Propri´t´. Si les applications f , g : I e e

Ñ R2 sont de classe C1, alors
detpf , g q : I t

Ñ R ÞÑ detpf ptq, gptqq

est de classe C1 et

¡detpf , g q

©I

 detpf I, gq   detpf , gIq

2
2.1

´ Etude locale des courbes param´tr´es e e
Pr´sentation e
D´finition. On munit le plan P d’un rep`re orthonormal R  pO; ı, q. Soit I un intervalle de R et f : I Ñ R2 e e 1 . On note encore pxptq, y ptqq les coordonn´es de f ptq. L’ensemble des points M une application de classe C e ÝÑ Ý de P tels qu’il existe t € I avec OM  f ptqs’appelle une courbe param´tr´e. e e
5

x  x pt q y  y pt q 1/7

2010-2011

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Chap 7 – Courbes param´tr´es e e est une repr´sentation param´trique de la courbe. On note M ptq le point de param`tre t, qui a pour e e e coordonn´es pxptq, y ptqq. e Exemple. • Le bicorne • Repr´sentation param´trique d’une droite dans le plan : e e
5 5

• Repr´sentation param´triqued’un cercle du plan : e e Exemple.

x  a   R cos t y  b   R sin t

x  a   αt y  b   βt

• Repr´sentation param´trique rationnelle du cercle trigonom´trique e e e

, priv´ de Ap¡1, 0q : e

5

x y

1 t2 1 t2 2t 1 t2

¡    

sin θ =

2t 1+t2

Ø

tan θ 2

cos θ =

1−t2 1+t2

2.2

Points r´guliers e
D´finition. Un point M0 pt0 q d’une courbe param´tr´e par f estdit r´gulier si et seulement si f I pt0 q e e e e I pt0 q et yI pt0 q ne s’annulent pas simultan´ment. c’est-`-dire si x a e Il est dit singulier ou stationnaire sinon. Propri´t´. e e vecteur de coordonn´es e
 x1 pt0 q¨
y 1 t0

$ 0,

La tangente ` la courbe en un point r´gulier est dirig´e par le vecteur f I pt0 q, c’est-`-dire le a e e a

x  t2   1 . y  t3   t   1 Montrer que cette courbeest r´guli`re en tous ses points, et d´terminer les coordonn´es du point de param`tre e e e e e 1, ainsi que la tangente en ce point. Exemple. Soit la courbe param´tr´e par : e e

p q.

5

2.3

Branches infinies
D´finition. Soit Γ une courbe param´tr´e par f d´finie sur I, de fonctions coordonn´es px, y q. Soit t0 un e e e e e ´l´ment de I, ou une borne de I (peut-ˆtre ¨V). On dit que Γpr´sente une branche infinie lorsque t Ñ t0 ee e e si et seulement si }f ptq} Ý Ñ  V. ÝÝ
t

Ñt0

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Chap 7 – Courbes param´tr´es e e Remarque. D´finition. En une branche infinie, on dit que Γ pr´sente une direction asymptotique si et seulement si la eÝ pÑ admet une limite, c’est-`-dire e yptq une limite. ÝÝÝ direction de OM tq a si xptq Remarque. R`gle d’´tude (si seule l’une des coordonn´es tend vers l’infini). e e e

• Si



p q ÝÑtÑ ¨V ÝÝ t 7y ptq Ý Ñ b € R ÝÝ tÑt 6 8xptq Ý Ñ a € R ÝÝ tÑt Si 7y ptq Ý Ñ ¨V ÝÝ tÑt
0 0 0 0

6 8x t

, alors Γ admet pour asymptote la droite horizontale d’´quation y e

 b.

, alors Γ admet...
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