Chap 7

Courbes param´tr´es e e
1 Pr´liminaire : Fonctions ` valeurs vectorielles e a
E2  R2 est muni du produit scalaire et de la norme usuels. D´finition. Soit I un intervalle de R. Soit f : I Ñ R2 e . On dit que f a pour limite t ÞÑ pxptq, y ptqq en a si et seulement si : }f ptq ¡ } ÝÝÑ 0 t  p 1, 2q

Ña
1 2

Propri´t´. f tend vers e e

en a si et seulement si :

6 8x t

Rappel. On dit qu’une fonction est de classe C1 lorsqu’elle est d´rivable et que sa d´riv´e est continue. e e e Propri´t´. f est de classe C1 si et seulement si les applications x et y sont de classe C1 . Dans ce cas, dt € e e I, f I ptq  pxI ptq, y I ptqq Propri´t´. Si les applications f , g : I Ñ R2 sont de classe C1 , alors pf ¤ g q : I Ñ R e e est de classe t ÞÑ f ptq ¤ g ptq C1 et pf ¤ gqI  pf I ¤ gq pf ¤ gIq Propri´t´. Si l’application f : I e e

p q ÝÝÑ tÑa 7y ptq ÝÝÑ tÑa

Ñ R2 est de classe C1 et f ne s’annule pas sur I, alors }f } :
I t

Ñ R ˜ ÞÑ }f ptq}  f ptq ¤ f ptq }f }I  pf ¤ f q }f }
I

est de classe C1 et

Propri´t´. Si les applications f , g : I e e

Ñ R2 sont de classe C1, alors detpf , g q : I t

Ñ R ÞÑ detpf ptq, gptqq

est de classe C1 et

¡

detpf , g q

©I

 detpf I, gq detpf , gIq

2
2.1

´ Etude locale des courbes param´tr´es e e
Pr´sentation e
D´finition. On munit le plan P d’un rep`re orthonormal R  pO; ı, q. Soit I un intervalle de R et f : I Ñ R2 e e 1 . On note encore pxptq, y ptqq les coordonn´es de f ptq. L’ensemble des points M une application de classe C e ÝÑ Ý de P tels qu’il existe t € I avec OM  f ptq s’appelle une courbe param´tr´e. e e
5

x  x pt q y  y pt q 1/7

2010-2011

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Chap 7 – Courbes param´tr´es e e est une repr´sentation param´trique de la courbe. On note M ptq le point de param`tre t, qui a pour e e e coordonn´es pxptq, y ptqq. e Exemple. • Le bicorne • Repr´sentation param´trique d’une droite dans le plan : e e
5 5

• Repr´sentation