Cours équation analyse numérique

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Introduction Cas scalaire p = 1

HEI : Analyse Numérique Chapitre 3 : Résolution Numérique des Equations H. Sadok

Cours d’Analyse Numérique, Chapitre 3 : Résolution Numérique

Introduction Cas scalaire p = 1

Plan

1

Introduction Bibliographie Introduction Cas scalaire p = 1 Algorithmes de résolution
Méthode de dichotomie Méthode de Newton Méthode de la sécante

2

Etude de laconvergence

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Introduction Cas scalaire p = 1

Bibliographie Introduction

Bibliographie

A. Quarteroni, R. Sacco et F. Saleri, « Méthodes Numériques pour le Calcul Scientifique », Springer-Verlag France, Paris, 2000. S. Guerre-Delabrière et M. Postel, «Méthodes d’approximation, Equations différentielles, Applications Scilab»,Ellipses, Paris, 2004.

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Introduction Cas scalaire p = 1

Bibliographie Introduction

Position du problème

Le problème Etant donné f : Rp → Rp , (1) On cherche un vecteur x ∈ Rn solution de f (x) = 0. Nous allons d’abord traiter le cas scalaire. La fin de ce chapitre sera consacrée au cas vectoriel.

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Algorithmes de résolution Etude de la convergence

Résolution numérique des équations
Résoudre numériquement l’équation f (x) = 0, revient à chercher x ∗ tel que |f (x ∗ )| ≤ , avec très petit. On va supposer dans la suite que la racine x ∗ est séparable, c’est à dire qu’il existe un intervalle [a, b] tel que x ∗ est laseule racine dans cet intervalle. On rappelle le théorème des valeures intermédiaires : théorème des valeures intermédiaires Soit f une fonction continue dans [a, b], et soit y ∈ [min(f (a), f (b)), max(f (a), f (b))], alors il existe x ∈ [a, b] tel que f (x) = y . supposons qu’il existe un intervalle [a, b] tel que f (a)f (b) < 0, donc d’apr` le thérème des valeurs intermédiaires, il existe un s¯ tel que f (x ) = 0. ¯ point x
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Introduction Cas scalaire p = 1

Algorithmes de résolution Etude de la convergence

Méthode de dichotomie
Hypothèse : x ∗ est séparable dans [a, b]. Supposons de plus que f (a)f (b) < 0. On définit l’algorithme suivant : algorithme de la bissection Initialisation: a0 = a, b0 = b avec f (a)f (b) <0 Iterations: Pour k = 0, 1, 2, . . .
ck = ak +bk , 2 Si f (ak )f (ck ) < 0
alors ak +1 = ak et bk +1 = ck sinon ak +1 = ck et bk +1 = bk

fin du si

fin du pour
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Algorithmes de résolution Etude de la convergence

Méthode de dichotomie : Exemple f (x) = (5 − x)ex − 5 = 0, avec a = 1 et b = 650

40

30

20

10

0

−10

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

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Introduction Cas scalaire p = 1

Algorithmes de résolution Etude de la convergence

Méthode de dichotomie : Critère de convergence
Il est évident que bn − an = b−a . 2n

Donc si |bn − an | ≤ alors 2n ≥ b−a . Et donc n ≥ log2 b−a .Si par exemple a = 1, b = 2 et = 10−4 , alors n ≥ 14. Ce qui montre que 14 itérations sont suffisante pour avoir une erreur inférieure à 10−4 . Comme approximation on propose an +bn . La convergence de la 2 méthode de dichotomie est linéaire. Cette méthode nécessite une seule évaluation de fonctions par itération. Nous allons voir dans ce qui suit une variante.

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Algorithmes de résolution Etude de la convergence

Méthode de dichotomie : Première variante
Au lieu de prendre cn égal au milieu de [an , bn ], nous allons tout d’abord tracer la droite passant par les deux points (an , f (an )) et (bn , f (bn )). Le nouveau point cn sera donc l’intersection de cette droite avec l’axe Ox....