Cours analyse

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Analyse 3
Notes de cours Andr´ Giroux e D´partement de Math´matiques et Statistique e e Universit´ de Montr´al e e Mai 2004

Table des mati`res e
1 INTRODUCTION 1.1 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 L’ESPACE EUCLIDIEN 2.1 Propri´t´s alg´briques . ee e 2.2 Propri´t´s g´om´triques ee e e 2.3 Propri´t´s topologiques ee 2.4 Exercices . . . . . . . . 3FONCTIONS 3.1 D´finition e 3.2 Propri´t´s ee 3.3 Exercices 3 4 5 5 8 12 18

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´ NUMERIQUES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

CONTINUES 22 . . .. . . . . . . . . . . . . . . 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 32 32 34 38 41

´ ´ 4 FONCTIONS NUMERIQUES DERIVABLES 4.1 D´finition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 4.2 Fonctions continˆment d´rivables . . . . . . . . u e 4.3 Propri´t´s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ee 4.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . .

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5 OPTIMISATION 43 5.1 Extremums locaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 5.2 Fonctions convexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 5.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 6 TRANSFORMATIONS DE L’ESPACE EUCLIDIEN 6.1 Exemples . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2 Transformations continues . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3 Transformations diff´rentiables . . . . . . . . . . . . . . e 6.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 49 51 54 57

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´ 7 DERIVATION EN CHAˆ INE 59 7.1 Le th´or`me . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 e e 7.2Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 7.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 8 FONCTIONS INVERSES 68 8.1 Le th´or`me . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 e e 8.2 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

1

8.3

Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .75

9 FONCTIONS IMPLICITES 77 9.1 Le th´or`me . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 e e 9.2 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 9.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 10 OPTIMISATION SOUS 10.1 Vari´t´s diff´rentiables ee e 10.2 Exemples . . . . . . . 10.3 Extremums li´s . . . . e 10.4 Exercices . . . .. . . CONTRAINTES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 82 84 87 89

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Table des figures
1 2 3 4 5 6 7 8 9 Un t´tra`dre dans R3 . . . . . . . . . e e Un plan dans R3 . . . . . . . . . . . Une discontinuit´ ` l’origine . . . . .ea Une discontinuit´ le long d’un rayon e Une fonction continˆment d´rivable . u e Une fonction convexe . . . . . . . . Une transformation du plan . . . . . Les coordonn´es sph´riques dans R3 e e Un point de rebroussement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 12 24 25 38 46 50 52 85

2

1

INTRODUCTION

L’analyse math´matique est l’´tude approfondie du calcul diff´rentiel et e e e int´gral. Ce cours porte sur le calcul diff´rentiel des fonctions de plusieurs vae e riables. On commence par y ´tablir les propri´t´s alg´briques, g´om´triques e ee e e e et...
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