Cours d’arithm´ etique Premi` ere partie
Pierre Bornsztein
Xavier Caruso
Pierre Nolin
Mehdi Tibouchi
D´ecembre 2004

Ce document est la premi`ere partie d’un cours d’arithm´etique ´ecrit pour les ´el`eves pr´eparant les olympiades internationales de math´ematiques. Le plan complet de ce cours est :
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8.

Premiers concepts
Division euclidienne et cons´ equences Congruences
´
Equations diophantiennes Structure de Z/nZ
Sommes de carr´ es Polynˆ omes ` a coefficients entiers
Fractions continues

Cette premi`ere partie traite les quatre premiers chapitres. Les quatre derniers chapitres forment quant `a eux la deuxi`eme partie de ce cours.
Contrairement `a la seconde partie, cette premi`ere partie se veut le plus ´el´ementaire possible. Les notions abstraites, souvent plus difficiles `a assimiler, mais qui clarifient les id´ees lorsqu’elles sont comprises, ne sont ´evoqu´ees que dans la seconde partie. Nous conseillons au lecteur de bien maˆıtriser ce premier tome avant de passer `a la lecture du second.
Les notions et les th´eor`emes introduits ici sont g´en´eralement tout `a fait suffisants pour traiter les exercices propos´ees aux olympiades internationales de math´ematiques.
Vous trouverez `a la fin de chaque chapitre une s´erie d’exercices de difficult´e variable mais indiqu´ee par des ´etoiles1 . Toutes les solutions sont rassembl´ees `a la fin du document.
Nous vous souhaitons bon apprentissage et bonne lecture.

1

Plus nous avons jug´e l’exercice difficile, plus le nombre d’´etoiles est important.

1

Liste des abbr´ evations :
AMM
APMO
CG
OIM
SL
TDV

American Mathematical Monthly
The Asian Pacific Mathematics Olympiad
Concours g´en´eral
Olympiades Internationales de Math´ematiques
Short List
Tournoi Des Villes

Liste des notations :
∅
N
N
Z
Q
R

ensemble ensemble ensemble ensemble ensemble ensemble vide des entiers naturels (positifs ou nuls) des entiers naturels strictement positifs des entiers relatifs des nombres rationnels des nombres