Cours de maths equa diff

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  • Publié le : 16 mai 2011
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EQUATIONS DIFFERENTIELLES
PLAN I : Equations différentielles linéaires du premier ordre 1) Définition a) Equation homogène (ou équation sans second membre) b) Caractérisation de l'exponentielle c) Equation avec second membre 2) Equations à coefficientsconstants 3) Equations à coefficients non constants 4) Exemple d'équation non linéaire 5) La méthode d'Euler II : Equations différentielles linéaires du second ordre 1) Définition 2) Equations à coefficients constants a) Equation homogène ou équation sans second membre b) Equation avec second membre Annexe : Résolution d'une équation particulière Résoudre une équation différentielle y' = f(x,y)sur un intervalle I, c'est trouver une fonction y(x) définie sur I vérifiant : ∀ x ∈ I, y'(x) = f[x,y(x)] Les courbes représentatives des fonctions solutions s'appellent courbes intégrales. I : Equations différentielles linéaires du premier ordre 1– Définition DEFINITION : On appelle équation différentielle linéaire du premier ordre une équation du type : a(x)y' + b(x)y = c(x) Une fonction f estsolution de cette équation sur un intervalle I si ∀ x ∈ I, a(x)f '(x) + b(x)f(x) = c(x) x2 Par exemple, la fonction exp(– ) est solution de l'équation y' + xy = 0. Les fonctions considérées 2 peuvent éventuellement être à valeurs complexes. Si f est une fonction de dans telle que f = g + ih avec g et h fonctions à valeurs réelles dérivables, on pose f ' = g' + ih'. Ainsi, pour a complexe, la dérivéede eax est aeax (cf le chapitre Complexes dans le fichier COMPLEXE.PDF). 2– Equations à coefficients constants Il s'agit d'équations pour lesquelles les fonctions a et b sont constantes. Quitte à diviser par a et à renommer les coefficients, on peut se ramener à une équation du type : -1¡ ¡    

y' + ay = c(x) a) Equation homogène (ou équation sans second membre) : On appelle ainsi l'équationy' + ay = 0. Quelles sont ses solutions sur u Il y a la solution y = 0.
¢

, avec a réel ?
¢

u Cherchons les solutions ne s'annulant en aucun point. On peut alors écrire :
⇒ ln y = –ax + Cte, en prenant une primitive de chaque membre ⇒ y = eCte.e–ax

y' = –a y

La fonction y ne s'annulant pas et étant continue, elle garde un signe constant. En posant λ = eCte ou –eCte suivant le signede y, on obtient : y = λ e–ax u Existe–t–il d'autres solutions, par exemple des solutions s'annulant en certains points ? Qu'en est-il si a (et donc y) sont complexes ? Montrons que les solutions sont de la même forme (mais avec λ complexe si a est complexe). Il suffit de montrer que, si y est une solution, alors yeax est constant. Posons donc z la fonction égale à yeax. Pour montrer que z estconstant, il suffit de calculer sa dérivée : z' = y'eax + ayeax = 0 z' = 0 donc z est constante (complexe si les fonctions sont à valeurs complexes). Ces résultats permettent d'énoncer la proposition suivante : PROPOSITION : Soit a réel ou complexe. Alors : i) les solutions de l'équation différentielle y' = ay sont de la forme y = λe–ax, où λ est un scalaire quelconque. Elles forment un espacevectoriel de dimension 1 dont une base est la fonction e–ax. ii) Si l'on fixe une condition y(x0) = y0, alors cette solution est unique. iii) En particulier, si y s'annule en un point, y est identiquement nulle. b) Caractérisation de l'exponentielle : a étant un complexe, il résulte du paragraphe précédent que l'exponentielle est caractérisée par l'équation différentielle et la condition initiale...
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