STS MAI 2 2006/2007




Chapitre 2 : Probabilit´es
Fiche 3 : Loi binomiale & Loi de Poisson
1 Loi binomiale
1.1 Introduction
On consid`ere une exp´erience al´eatoire qui a deux issues possibles : r´eussite ou ´echec. On notera p la proba- bilit´e de r´eussite et q la probabilit´e d’´echec. On a alors p+q = 1. Une telle exp´erience est appel´ee ´epreuve de Bernoulli1.
Exemple 1 : une ´epreuve consiste `a lancer un d´e. On gagne si l’on obtient un 6.
On a donc p =
. . .
. . . et q =
. . .
. . .
On r´ep`ete maintenant n fois la mˆeme ´epreuve de Bernoulli, de fa¸con `a ce que chaque ´epreuve soit ind´ependante des autres. On note alors X la variable al´eatoire ´egale au nombre total de succ`es. La loi de probabilit´e de X est appel´ee loi binomiale de param`etres n et p, et not´ee B(n, p).
Exemple 2 : on lance 5 fois de suite un d´e. X est alors le nombre de r´eussites, c’est-`a-dire le nombre de
6 obtenus.
Calculer P(X = 0) et P(X = 3).
Compl´eter la loi de probabilit´e de X : xi 0 1 2 3 4 5
P(X = xi)
1.2 D´efinition et propri´et´es de la loi binomiale
D´efinition 1
Soit n 2 N, p 2 [−1; 1] et X une variable al´eatoire.
On dit que la variable al´eatoire X suit la loi binomiale de param`etres n et p, et on note X B(n, p), lorsque :
– L’ensemble des valeurs prises par X est : X(
) = {0; 1; 2; . . . ; n}.
– Pour tout k 2 {0; 1; 2; . . . ; n}, P(X = k) = Ck npkqn−k, avec q = 1 − p.
Th´eor`eme 1 (admis)
Soit n 2 N, p 2 [−1; 1] et X une variable al´eatoire. On note q = 1 − p.
Si X suit une loi binomiale de param`etres n et p, alors :
E(X) = np V (X) = npq X = pnpq
1.3 Crit`eres permettant d’utiliser la loi binomiale
Il faut savoir justifier l’utilisation d’une loi binomiale dans une situation donn´ee. Pour cela, on v´erifiera les points suivants :
– on a affaire `a une ´epreuve de Bernoulli comportant deux issues possibles r´eussite et ´echec, de probabilit´es p et q respectivement.
– On r´ep`ete n fois cette ´epreuve et