Cours electromagnetisme bac+1/+2

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  • Publié le : 13 mai 2010
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Cours d’Electromagnétisme

Introduction :

L’électromagnétisme et la Magnétostatique étudient des phénomènes dans le cas d’un régime permanent c’est à dire indépendant du temps.

Dans ce cours on va généraliser les lois de l’électrostatique et de la magnétostatique au cas des régimes variables dans le but d’étudier la propagation des ondes électromagnétiques dans un milieu quelconque.Objectif de ce cours : comprendre comment les ondes électromagnétiques se propagent tout d’abord dans le vide puis ensuite dans les milieux matériels (les milieux diélectriques et les milieux conducteurs).

Applications du cours : milieux guidés comme les guides d’onde (les fibres optiques) Antennes

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Chapitre I : Rappels d’analyse vectorielle
I. Les différents opérateurs

Rq : on selimitera pour les opérateurs au cas des coordonnées cartésiennes. I.1 Le gradient : Définition : Soit U(x,y,z) une fonction. Sur la distance d ℓ = dx x + dy y + dz z la fonction scalaire varie de
U à U + dU avec dU =

∂U ∂U ∂U dx + dy + dz . ∂x ∂y ∂z

Par définition dU = gradU • d ℓ avec gradU =

∂U ∂U ∂U x + y + z. ∂x ∂y ∂z

Conclusion : Opérateur de dérivation permettant de définir unvecteur à partir d’une fonction scalaire U :
gradU = ∂U x + ∂U y + ∂U z (cartésien) ∂x ∂y ∂z Exemples : Gradient de pression E = - gradV en électrostatique avec V le potentiel électrostatique

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I.2 La divergence : Définition : Opérateur associant un scalaire à un vecteur A : A = A x x + A y y+ A z z et divA = ∂Ax + ∂Ay + ∂Az (cartésien) ∂x ∂y ∂z

Théorème d’Ostrogradsky :

∫∫ A dS = ∫∫∫
SV

divA dV avec S la surface fermée qui délimite le volume V.

I.3 Le rotationnel : Définition : Opérateur permettant de définir à partir d’un vecteur A un nouveau vecteur :
rotA = (∂Az − ∂Ay)x + (∂Ax − ∂Az)y + (∂Ay − ∂Ax )z (cartésien) ∂y ∂z ∂z ∂x ∂x ∂y

Intérêt: le rotationnel permet de connaître l’influence d’un vecteur A sur son environnement

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Exemples :
- y2
2 Soit A = A0e a y .

Si on calcule le rotationnel de ce vecteur sa valeur est nulle. Ainsi si ce vecteur représente par exemple des forces électrostatiques , tout élément chargé se dirigeant dans la direction Oy n’est pas perturbé par cette force (la charge ne tourne pas). -x2
2 Par contre si A = A0 e a y alors le rotationnel de ce vecteur est non nul et

toute charge soumise à cette force et sedirigeant dans la direction Oy va tourner.

Théorème de Stokes :

∫C Ad ℓ = ∫∫S rotAdS avec S la surface qui s’appuie sur le contour C.

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I.4 Le laplacien : 1- Opérateur laplacien scalaire Défini par ∆U = div(gradU) =
∂ 2U ∂ 2U ∂ 2U + + ∂x 2 ∂y 2 ∂z 2

2- Opérateur Nabla Défini uniquement en coordonnées cartésiennes. ∇= ∂ ∂ ∂ x + y + z ∂z ∂x ∂y

Son utilisation peut-être générale car ilpermet d’exprimer tous les opérateurs précédents sous formes simplifiées en faisant intervenir un produit scalaire ou vectoriel entre nabla. gradU = ∇U

divA = ∇•A

rotA = ∇∧ A

∆U = ∇•(∇U)

∆A = ∇(∇ • A) − ∇ ∧ (∇ ∧ A)

Remarque : l’opérateur nabla ne s’identifiant pas aux composantes du gradient en coordonnées cylindriques ou sphériques, il ne peut être utilisé qu’en coordonnéescartésiennes. Exemple : ∇U= ∂U u r + ∂U uθ + ∂U u z ≠ gradU = ∂U u r + 1 ∂U uθ + ∂U u z r ∂θ ∂r ∂θ ∂z ∂r ∂z en cylindrique

Conclusion : Le gradient, la divergence, le rotationnel et le laplacien sont des outils mathématiques qui permettent d’étudier au niveau local (microscopiques) le champ électromagnétique.

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Chapitre II : Les équations de Maxwell
I- Rappels d’électrostatique et demagnétostatique (régime stationnaire) I-1 les équations locales de l’électrostatique Evaluons le flux de E à travers une surface fermée S limitant un volume V :

∫∫ E dS = ε 0 = ∫∫∫ ε 0
S V

Qint

ρ

dV (Théorème de Gauss)

or

∫∫ E dS = ∫∫∫
S

V

divE dV (formule d’Ostrogradsky)
ρ



∫∫∫

V

divE dV = ∫∫∫

V

ε0

dV

soit

divE =

ε0

ρ

(formule locale du...
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