Cours ensembles

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  • Publié le : 12 décembre 2011
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Exercices - Ensembles : inclusion - union - intersection application... : corrigé Exercices de base...
Exercice 1 - Ecriture en extension - L1/Math Sup On a : A = {2, 3, 4, 5, 6} . Pour écrire B, on remarque que 1/2 ≤ n ≤ 7/2 =⇒ n =1,2 ou 3. Pour chaque valeur possible de n, on écrit les valeurs possibles de p, et on obtient : 1 3 1 2 4 5 B = 1, 2, , , , , , . 2 2 3 3 3 3 On n’a pas écritplusieurs fois 1, qui s’obtient aussi avec 2/2 et 3/3. De même pour 2.

Exercice 2 - Ensemble des parties - L1/Math Sup On classe les parties suivant leur nombre d’éléments : 0 éléments : Il n’y a que l’ensemble vide : ∅. 1 élément : Il y a les 4 singletons : {a}, {b}, {c}, {d}. 2 éléments : Il y a 6 parties à 2 éléments : {a, b}, {a, c}, {a, d}, {b, c}, {b, d}, {c, d}. 3 éléments : Il y a 4 parties à3 éléments : {a, b, c}, {a, b, d}, {a, c, d}, {b, c, d}. 4 éléments : Il n’y a qu’une partie à 4 éléments : l’ensemble E lui-même. L’ensemble des parties de E comporte donc 16 = 24 éléments.

Exercice 3 - Partie d’une union - L1/Math Sup Non ! Prendre par exemple A = {1, 2}, B = {3, 4} et C = {2, 3}.

Exercice 4 - Lois de Morgan - L1/Math Sup On raisonne à chaque fois par double inclusion. 1.Soit x ∈ (A ∩ B) ∪ C. Alors (x ∈ A et x ∈ B) ou x ∈ C. Si x ∈ A et x ∈ B, alors x ∈ A ∪ C et x ∈ B ∪ C, et l’inclusion est prouvée. Sinon, c’est que x ∈ C, et dans ce cas on a aussi x ∈ A ∪ C et x ∈ B ∪ C. Récipoquement, si x ∈ A ∪ C et x ∈ B ∪ C, on distingue deux cas : – Si x ∈ C, alors x ∈ (A ∩ B) ou x ∈ C et donc x ∈ (A ∩ B) ∪ C. – Sinon, x ∈ C. Mais alors, puisque x ∈ A ∪ C, on a x ∈ A. Demême, puisque x ∈ B ∪ C, / on a x ∈ B. Ceci prouve que x ∈ A ∩ B et donc x ∈ (A ∩ B) ∪ C. 2. On suppose que x ∈ (Ac )c . Alors x ∈ Ac , et donc x ∈ A. Réciproquement, si x ∈ A, alors / c et donc x ∈ (Ac )c . x∈A / 3. Soit x ∈ (A ∩ B)c . Alors x ∈ A ∩ B. On a donc x ∈ A ou x ∈ B, c’est-à-dire x ∈ Ac ou / / / c . On en déduit que x ∈ Ac ∪ B c . Réciproquement, soit x ∈ Ac ∪ B c . Alors x ∈ Ac x∈B ou x∈ B c , c’est-à-dire x ∈ A ou x ∈ B. En particulier, x ∈ A ∩ B et donc x ∈ (A ∩ B)c . / / /

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Exercices - Ensembles : inclusion - union - intersection application... : corrigé
4. On peut présenter aussi les raisonnements précédents sous forme d’équivalence. C’est ce que l’on fait pour ce dernier exemple : x ∈ (A ∪ B)c ⇐⇒ ⇐⇒ ⇐⇒ ⇐⇒ x∈A∪B / x ∈ A et x ∈ B / / x ∈ Acet x ∈ B c x ∈ Ac ∩ B c .

Plus évolué...
Exercice 5 - Différence symétrique - L1/Math Sup 1. Les éléments de A∆B sont les éléments qui appartiennent à A ou à B, mais qui n’appartiennent pas simultanément aux deux (dans un langage informatique, on pourrait parler de "ou exclusif"). 2. Soit x ∈ A∆B. Par symétrie du problème, on peut toujours supposer que x ∈ A. Nécessairement, x ∈ B. On endéduit que x ∈ A et x ∈ CE B. Ceci donne x ∈ A ∩ CE B. / Réciproquement, si par exemple x ∈ A ∩ CE B, x ∈ A et x ∈ B, et donc x ∈ A ∪ B et / x ∈ A ∩ B. L’autre possibilité se traite exactement de la même façon. / 3. En utilisant ou la définition (c’est plus clair avec l’interprétation de la première question), ou le résultat précédent, on a : A∆A = ∅. A∆∅ = A. A∆E = CE A. A∆CE A = E. 4. Comme toujours,on raisonne par double inclusion. Si x ∈ (A∆B) ∩ C, alors x ∈ A∆B et x ∈ C. Si on a x ∈ A, alors x ∈ B, et x ∈ C, ce qui donne encore : x ∈ A ∩ C et x ∈ B ∩ C. / / On a bien x ∈ (A ∩ C)∆(B ∩ C). Le cas où x ∈ B se traite exactement de la même façon (par symétrie). Réciproquement, si x ∈ (A ∩ C)∆(B ∩ C), supposons par exemple que x ∈ (A ∩ C). Alors x ∈ B ∩ C, ce qui implique x ∈ B ou x ∈ C. Mais, x∈ (A ∩ C) =⇒ x ∈ A et x ∈ C. On / / / en déduit que x ∈ B. D’où x ∈ A∆B, et x ∈ C, ce qui est le résultat que nous voulions / prouver. L’autre cas se traite également par symétrie. On prouve la deuxième inégalité de la même façon.

Exercice 6 - Réunion et intersection égales - L1/Math Sup 1. Par symétrie du problème en A et B, il suffit de démontrer que A ⊂ B. Prenons x ∈ A et supposons que x...
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