La fonction exponentielle

1. Problème : Recherchons les fonctions f dérivables sur R, non nulles, et telles que pour tous x et y réels, on ait : f(x+y) = f(x) x f(y) [RF = Relation fonctionnelle]

*Valeur de f(0)
Posons x = 0.
Alors [RF] => f(0+x) = f(0) x f(y) f(x) = f(y), d'où f(0) = 1

*Dérivée de f
Soit un réel x fixé.
Posons F1(y) = f(x+y) et F2(y) = f(x) x f(y)
On a : F'1(y) = f' (x+y) x 1 et F'2(y) = f'(x) x f'(y)
On doit donc avoir, pour tout y appartenant à R, f'(x+y) = f(x) x f'(y)

En particulier, si y=0 alors f'(x) = kf(x)

2. Étude de l'équation différentielle f' = kf (avec f(0) = 1)

Théorème et définition (k=1) La fonction f dérivable sur R et vérifiant f'=f et f(0)=1 existe et est unique. On l'appelle la fonction exponentielle.

Démonstration *Unicité
Supposons 2 fonctions f et g distinctes et dérivables sur R, vérifiant f'=f et f(0)=1, et g'=g et g(0)=1.
Observons (f/g). C'est le quotient de deux fcts dérivables sur R, donc : (f/g)' = (f'g – fg')/(g²) = (fg – fg)/g² = 0 donc (f/g) est une constante.
Or, (f/g)(0) = (f(0)/g(0)) = 1 donc f/g est la fct constante 1 donc f=g d'où il existe une solution au prbl f=f' et f(0)=1 et elle est unique.

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Cas général
Théorème et définition Il existe une unique fonction f dérivable sur R et telle que f'=kf et f(0)=1. Cette fct, notée fk, sera définie sur R par : fk(x)=exp(kx)

Démonstration *Existence
La fonction f(x)=exp(kx) est dérivable sur R et telle que : – f'k (x)= (exp(kx))'= exp'kx x k= kexp(kx) = kf(x). – fk = 0 = exp(k x 0)= exp(0)= 1
Les deux propriétés sont vérifiées, cette fonction est donc une solution au prbl. *Unicité
Supposons 2 fcts f et g distinctes et dérivables sur R, vérifiant f'=kf et f(0)=1 et g'=kg et g(0)=1.
On observe (f/g).
(f/g)' = (f'g – fg')/(g²) = (kfg – kgf)/(g²) = (k(fg – gf))/(g²) = 0 donc (f/g) est une constante.
Or, (f/g)(0) = (f(0)/g(0)) = 1 donc f/g est la