Cours géometrie dans l'espace

Disponible uniquement sur Etudier
  • Pages : 9 (2151 mots )
  • Téléchargement(s) : 0
  • Publié le : 31 mai 2009
Lire le document complet
Aperçu du document
GEOMETRIE DANS L’ESPACE
Tout théorème de géométrie plane s’applique dans n’importe quel plan de l’espace. Tout le cours sera illustré d’exemples qui se rapporterons au dessin ci dessous. ABCDEFIJ est un cube EGHJKLMN est un parallélépipède rectangle tel que HM = CI et JH = 2JI
A K E F L

G

B B N J M

I C

H

D

1. Vecteurs de l’espace
Les définitions et propriétés des vecteurs duplan s’étendent à l’espace.

!!!" Définition : à tout couple de points A et B de l’espace, on associe le vecteur AB . !!!" !!!" Lorsque A ≠ B, la direction de AB est celle de la droite (AB) , le sens de AB est le sens de A vers B et la !!!" !!!" longueur ou norme de AB , notée AB , est la distance AB .
! ! !" " " ! Remarque : On désigne souvent les vecteurs par une seule lettre, par exemple u,v , w …

! " !!! " ! " Propriété : Pour tout point O de l’espace et pour tout vecteur u , il existe un unique point A tel que OA = u .
Démonstration :

!!!" !!!" Définition et propriété : les vecteurs non nuls AB et DC sont égaux : !!!" !!!" AB et DC ont même direction, même sens et même norme. Cela revient à dire que ABCD est un parallélogramme, c'est à dire [AC] et [BD] ont même milieu .Remarque : Si A, B, C et D sont alignés, on dit que ABCD est un parallélogramme aplati Les règles de calcul sur les vecteurs de l’espace sont analogues aux règles de calcul sur les vecteurs du plan. On peut donc encore utiliser la relation de Chasles, la règle du parallélogramme ou l’opposé d’un vecteur. Exercice : Simplifier les égalité suivantes : !!!" !!! " !!!" !!! " AB + BF = AD + DI = !!!"!!! " DC + DJ =

!!! !!! " " JN + JH =

!!!" !!! " DE + KL =

!!! !!! " " JN + LG = !!!" !!! !!! " " DC + DJ + DA =

On étant à l’espace la multiplication d’un vecteur par un réel. Les règles de calcul suivantes sont conservée.

! " ! " Propriété : Pour tous réels a et b, et pour tous vecteurs u et v on a : ! ! " " ! " ! " ! " ! " ! " ! " ! " ! " ! ! " " a(u + v) = au + av , (a + b)u = au+ bu , a(bu) = (ab)u , au = 0 ! a = 0 ou u = 0 etc… ! " ! " Définition : Deux vecteurs non nuls u et v qui ont la même direction sont dits colinéaires.

Remarque : par convention le vecteur nul est colinéaire à tout autre vecteur.

! " ! " Propriété : Dire que deux vecteurs non nuls u et v sont colinéaires revient à dire qu’il existe un réel k tel ! " ! " que u = k v .
Exemple : !!!" !!!" EG= 2 AB

!!!" !!!" Propriété : les points A, B et C ( distincts ) sont alignés revient à dire qu’il existe k ! ! tel que AC = k AB
Exercice : Montrer que les points D, I et M sont alignés.

! " ! " Définition : Deux vecteurs non nuls u et v dont les directions sont orthogonales sont dits orthogonaux. On ! " ! " note u ⊥ v .
Remarque : par convention le vecteur nul est orthogonal à tout autrevecteur. Attention on n’a pas défini le produit scalaire de deux vecteurs dans l’espace. Exemple : !!!" !!!! " AD ⊥ NM

2. Interprétation vectorielle des droites et des plans de l’espace.
2.1. Les droites. Définition : Soit (d) une droite. On appelle vecteurs directeurs de (d) tout vecteurs, non nuls, colinéaire à un vecteur définis par deux points de (d). Exemple :

! " Définition : Soit Aun point de l’espace et u un vecteur non nul. ! " ! " (A ; u ) représente la droite qui passe par A et de direction, la direction de u .

!!!! " ! " ! " Remarque : La droite (A ; u ) est l’ensemble des points M de l’espace tels que AM et u sont colinéaires, !!!! " ! " c'est à dire tels qu’il existe un réel k vérifiant AM = k u !!!" !!!" Dire que les droites (AB) et (CD) sont parallèles revient àdire que les vecteurs AB et CD sont colinéaires, !!!" !!!" c'est à dire qu’il existe k ! !* tel que AB = k CD .
2.2. Les plans.

Propriété : Soit A, B et C trois points non alignés. Le plan (ABC) est l’ensemble des points M de l’espace tels qu’il existe des réels x et y vérifiant !!!! " !!!" !!!" AM = x AB + y AC

M2 C

M

A

B

M1

!!!" ! " ! " !!!" Démonstration : On pose u =...