cours de mathématiques en terminale
.

La fonction exponentielle
I . Equation différentielle f’ = f avec f(0) = 1 :

Définition :
Définition :
Une équation où figure une fonction et sa dérivée est une équation différentielle.
La résoudre sur un intervalle I, c’est trouver toutes les fonctions dérivables sur I qui vérifient l’égalité. Ici, on cherche les fonctions f dérivables sur

telles que pour tout réel x :

f’(x) = f(x).
L’égalité f(0) = 1 est appelée condition initiale.
Propriété :
S’il existe une fonction f dérivable sur I telle que f’ = f et f(0) = 1 alors f ne s’annule pas sur I.
Théorème :
Il existe une unique fonction f dérivable sur I telle que f’ = f et f(0) = 1.
C’est la fonction exponentielle, notée exp.
II . Propriétés algébriques :
Théorème :
Relation fonctionnelle caractéristique :
La fonction exponentielle est la seule fonction dérivable sur I non nulle qui vérifie les conditions :
• Pour tous réels a et b, f(a+b) = f(a).f(b)
• f’(0) = 1
Propriétés :

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Pour tous réels a et b et pour tout n entier relatif :
•

•

•

Remarque :

Pour tout réel a :
Donc pour tout réel a, exp(a)>0.

Notations :
On pose :

Par analogie avec les puissances (et leurs règles de calcul) on pose :

Propriétés :

III . Etude de la fonction exponentielle :
Théorème :
La fonction exponentielle est strictement croissante sur

.

Propriétés :
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•

Théorème :
•
•

Théorème :
•

•
La fonction x

1+x est l'approximation affine de la fonction exponentielle au voisinage de 0.

Théorème :
•

•
On admet que ce théorème se généralise et qu'à l'infini, l'exponentielle l'emporte sur les puissances.
Exemples :

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