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Séquence 6
1ère partie :
Dérivation (2) : application
aux variations des fonctions
e
2
partie :
Probabilités (2) : loi de
Bernoulli, loi binomiale
Séquence 6 – MA12
1
© Cned - Académie en ligne
1ère partie
Dérivation (2) : application
aux variations des fonctions
Sommaire
1. Pré-requis
2. Variations d’une fonction dérivable sur un intervalle
3. Synthèse de la partie1 de la séquence
4. Exercices d’approfondissement
2
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Séquence 6 – MA12
1 Pré-requis
A
Sens de variation
1. Définitions
Ces définitions ont déjà été revues dans la partie 2 de la séquence 2.
Elles sont essentielles dans ce chapitre, elles sont donc rappelées ici.
Définition
Soit f une fonction définie sur un intervalle I.
f est croissante sur Isi, pour tout couple (a ; b) d’éléments de I tel que
a ≤ b, on a f (a) ≤ f (b).
f est strictement croissante sur I si, pour tout couple (a ; b) d’éléments de I
tel que a < b , on a f (a ) < f (b ).
f est décroissante sur I si, pour tout couple (a ; b) d’éléments de I tel que
a ≤ b, on a f (a) ≥ f (b).
f est strictement décroissante sur I si, pour tout couple (a ; b) d’éléments
de I tel que a< b , on a f (a ) > f (b ).
On dit que f est monotone (resp. strictement) sur I lorsque f est (resp. strictement)
croissante sur I ou lorsque f est (resp. strictement) décroissante sur I.
Définition
Soient f une fonction définie sur un intervalle I et x 0 ∈ I.
Si, pour tout x ∈ I, f (x) ≤ f ( x 0 ) , alors on dit que f ( x 0 ) est le maximum
de f sur I.
Si, pour tout x ∈ I, f (x) ≥ f ( x 0) , alors on dit que f ( x 0 ) est le minimum
de f sur I.
Dans les deux cas, on dira que f ( x 0 ) est un extrémum de la fonction f.
Remarque
Un extrémum est une des images, c’est une des valeurs prises par la fonction.
Il ne faut pas confondre la valeur de l’extrémum, f ( x 0 ), avec le nombre x 0 .
Séquence 6 – MA12
3
© Cned - Académie en ligne
̈
Exemple
Soit fdéfinie sur R par : f ( x ) = ( x − 1)2 − 2 . Pour tout réel x, on a f ( x ) ≥ f (1) car
f (1) = −2 et ( x − 1)2 − 2 ≥ −2. Le minimum de f sur R est donc égal à −2 et ce
minimum est atteint pour x 0 = 1.
2. Variations des fonctions affines
Propriétés
Soit f une fonction affine définie sur » par f ( x ) = ax + b , avec a ≠ 0.
Si a est strictement positif, la fonction affine f est strictementcroissante
sur ».
Si a est strictement négatif, la fonction affine f est strictement décroissante
sur ».
a0
y = –x+2
y = 2x–1
j
j
O
Remarque
i
O
i
Il est important de mémoriser visuellement ce résultat, de bien faire le lien entre
le signe du coefficient directeur a de la droite et son inclinaison, entre le signe de
a et le sens de variation de la fonction affine.
3.Fonctions u et u
Propriétés
Si u est une fonction à valeurs positives, alors les fonctions u et u ont les
mêmes variations.
4
© Cned - Académie en ligne
Séquence 6 – MA12
B
Dérivation (1)
L’essentiel de la Partie 1 de la Séquence 4 sera utilisé ici : définitions, calculs de
fonctions dérivées, équations de tangente.
C
Étude de signes
Il est indispensable de savoirétudier le signe d’une quantité qui dépend d’une
variable.
Les signes connus sont utilisés directement et dans les tableaux de signes.
1. Signes à connaître
̈ Un
carré est toujours positif.
̈ Une
̈ Le
racine carrée est toujours positive.
tableau de signes d’une expression affine ax + b :
a est positif, on a
−∞
x
−
Signe de ax + b
+∞
−b / a
0
+
o
a estnégatif, on a
x
−∞
Signe de ax + b
+∞
−b / a
+
0
−
Le signe de ax + b est le signe de l’ordonnée des points d’une droite de
coefficient directeur a, les figures précédentes permettent de retenir ces signes.
̈ Un trinôme du second degré
ax 2 + bx + c est toujours du signe de a sauf entre
les racines si elles existent.
Rappel
Il faut s’habituer à bien employer le mot...
1ère partie :
Dérivation (2) : application
aux variations des fonctions
e
2
partie :
Probabilités (2) : loi de
Bernoulli, loi binomiale
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1
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1ère partie
Dérivation (2) : application
aux variations des fonctions
Sommaire
1. Pré-requis
2. Variations d’une fonction dérivable sur un intervalle
3. Synthèse de la partie1 de la séquence
4. Exercices d’approfondissement
2
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1 Pré-requis
A
Sens de variation
1. Définitions
Ces définitions ont déjà été revues dans la partie 2 de la séquence 2.
Elles sont essentielles dans ce chapitre, elles sont donc rappelées ici.
Définition
Soit f une fonction définie sur un intervalle I.
f est croissante sur Isi, pour tout couple (a ; b) d’éléments de I tel que
a ≤ b, on a f (a) ≤ f (b).
f est strictement croissante sur I si, pour tout couple (a ; b) d’éléments de I
tel que a < b , on a f (a ) < f (b ).
f est décroissante sur I si, pour tout couple (a ; b) d’éléments de I tel que
a ≤ b, on a f (a) ≥ f (b).
f est strictement décroissante sur I si, pour tout couple (a ; b) d’éléments
de I tel que a< b , on a f (a ) > f (b ).
On dit que f est monotone (resp. strictement) sur I lorsque f est (resp. strictement)
croissante sur I ou lorsque f est (resp. strictement) décroissante sur I.
Définition
Soient f une fonction définie sur un intervalle I et x 0 ∈ I.
Si, pour tout x ∈ I, f (x) ≤ f ( x 0 ) , alors on dit que f ( x 0 ) est le maximum
de f sur I.
Si, pour tout x ∈ I, f (x) ≥ f ( x 0) , alors on dit que f ( x 0 ) est le minimum
de f sur I.
Dans les deux cas, on dira que f ( x 0 ) est un extrémum de la fonction f.
Remarque
Un extrémum est une des images, c’est une des valeurs prises par la fonction.
Il ne faut pas confondre la valeur de l’extrémum, f ( x 0 ), avec le nombre x 0 .
Séquence 6 – MA12
3
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̈
Exemple
Soit fdéfinie sur R par : f ( x ) = ( x − 1)2 − 2 . Pour tout réel x, on a f ( x ) ≥ f (1) car
f (1) = −2 et ( x − 1)2 − 2 ≥ −2. Le minimum de f sur R est donc égal à −2 et ce
minimum est atteint pour x 0 = 1.
2. Variations des fonctions affines
Propriétés
Soit f une fonction affine définie sur » par f ( x ) = ax + b , avec a ≠ 0.
Si a est strictement positif, la fonction affine f est strictementcroissante
sur ».
Si a est strictement négatif, la fonction affine f est strictement décroissante
sur ».
a0
y = –x+2
y = 2x–1
j
j
O
Remarque
i
O
i
Il est important de mémoriser visuellement ce résultat, de bien faire le lien entre
le signe du coefficient directeur a de la droite et son inclinaison, entre le signe de
a et le sens de variation de la fonction affine.
3.Fonctions u et u
Propriétés
Si u est une fonction à valeurs positives, alors les fonctions u et u ont les
mêmes variations.
4
© Cned - Académie en ligne
Séquence 6 – MA12
B
Dérivation (1)
L’essentiel de la Partie 1 de la Séquence 4 sera utilisé ici : définitions, calculs de
fonctions dérivées, équations de tangente.
C
Étude de signes
Il est indispensable de savoirétudier le signe d’une quantité qui dépend d’une
variable.
Les signes connus sont utilisés directement et dans les tableaux de signes.
1. Signes à connaître
̈ Un
carré est toujours positif.
̈ Une
̈ Le
racine carrée est toujours positive.
tableau de signes d’une expression affine ax + b :
a est positif, on a
−∞
x
−
Signe de ax + b
+∞
−b / a
0
+
o
a estnégatif, on a
x
−∞
Signe de ax + b
+∞
−b / a
+
0
−
Le signe de ax + b est le signe de l’ordonnée des points d’une droite de
coefficient directeur a, les figures précédentes permettent de retenir ces signes.
̈ Un trinôme du second degré
ax 2 + bx + c est toujours du signe de a sauf entre
les racines si elles existent.
Rappel
Il faut s’habituer à bien employer le mot...
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