LOI BINOMIALES ET APPLICATIONS
I)

EPREUVE ET SCHEMA DE BERNOULLI
1) Epreuve de Bernoulli

DEFINITION : Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire qui ne comporte que deux issues, l’une appelé succès ( 𝑺 ), l’autre échec ( 𝑺̅ ).
EXEMPLES :
• On lance une pièce de monnaie équilibrée ou non. On appelle par exemple succès, l’issue « pile » et échec l’issue « face ».
• On lance un dé. On peut décider d’appeler succès la sortie du 6 et échec la sortie de 1, 2, 3, 4 ou 5.
2) Loi de Bernoulli
DEFINITION : Une loi de Bernoulli est une loi de probabilité définie sur l’ensemble E = { 𝑺 ; 𝑺̅ } des issues de l’épreuve de Bernoulli. On associe au succès 𝑺 une probabilité 𝒑 (appelée PARAMETRE DE LA LOI DE BERNOULLI)
(𝒑 compris entre 0 et 1). La probabilité de l’échec 𝑺̅ est donc 𝟏 − 𝒑.

Issue

𝑺

𝑺̅

Probabilité

𝒑

𝟏−𝒑

EXEMPLES : Avec les deux exemples précédents :
• La loi de Bernoulli de paramètre ……… est

• La loi de Bernoulli de paramètre ……… est

Issue

𝑷𝒊𝒍𝒆

𝑭𝒂𝒄𝒆

Issue

𝑺

𝑺̅

Probabilité

𝟏
𝟐

𝟏
𝟐

Probabilité

𝟏
𝟔

𝟓
𝟔

3) Schéma de Bernoulli
DEFINITION : Un SCHEMA DE BERNOULLI est une répétition d’épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes.
EXEMPLE :
Une urne contient 3 boules rouges et 1 boule verte. On tire successivement et AVEC REMISE 3 boules de l’urne. Pour chacun des tirages, obtenir une boule verte est considéré comme un succès. On représente cette situation à l’aide de l’arbre ci-dessous. Les issues de cette répétition sont des listes : (V ; V ; V), (V ; V ; R),
(V ; R ; V), …
1
V
V
1
4

3
4

R

V

1
4
3
4

1
4
3
4

R

V

R

4
3
4

R

1
4
3
4

V

1
4
3
4

V

1
4
3
4

R

R

REMARQUE :

Si les tirages ont lieu sans remise, il ne s’agit plus d’un schéma de Bernoulli car les expériences répétées ne sont plus ni identiques, ni indépendantes. V
R

1

II)

LA LOI BINOMIALE
1) Définition de la Loi Binomiale

DEFINITION : On considère un Schéma de Bernoulli, répétition de 𝒏 épreuves de Bernoulli identiques et