I. Polynômes
Définition / Vocabulaire : Un monôme est une expression de la forme : a x n ou a est un nombre réel et n un entier naturel : le nombre a est appelé coefficient du monôme et le nombre n est appelé le degré du monôme.
• 3x² est un monôme du second degré et de coefficient 3
• -2 / x n'est pas un monôme
• 3 = 3x0 est un monôme de degré 0 et de coefficient 3
Définition : Une somme de plusieurs monômes est un polynôme.
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3x² - 5x + 7 est un polynôme du second degré
-x3 + 4x - 9 est un polynôme du 3 ème degré
2x + 1 est un polynôme du 1 er degré
3 est un polynôme de degré 0

Remarque : A un polynôme, on peut associer la fonction
II. Le second degré
Définition : On appelle polynôme du second degré (ou trinôme du second degré) toute expression du type a x 2+ b x+ c avec a≠0 .
1) Forme canonique
Propriété : Tout polynôme du second degré a x 2+ b x+ c peut s'écrire sous la forme a ( x−α)2 +β , avec b α=− et β= f (α) . C'est la forme canonique.
2a
Propriété : • Le réel b 2−4 a c , noté Δ et est le discriminant du trinôme a x 2+ b x+ c
2
b a x+
− Δ 2 est la forme canonique du trinôme a x 2+ b x+ c
•
2a
4a

(( ) )

Démonstration :
Exemple :
2) Résolution de l'équation a x ² + b x + c = 0
Théorème : • Si Δ < 0 , l'équation a x 2+ b x+ c=0 n'a aucune solution

b
• Si Δ =0 , l'équation a x 2+ b x+ c=0 admet une solution double : x 0=−
2a
• Si Δ > 0 , l'équation a x 2+ b x+ c=0 admet deux solutions : x 1=

−b− √Δ
−b+ √ Δ et x 2=
2a
2a

Démonstration :
Exemple :
Remarque : Dans certains cas, il n'est pas nécessaire de calculer le discriminant pour vérifier si une telle équation admet des solutions. Si a et c sont de signe opposés, alors il existe une solution.
3) Factorisation de a x ² + b x + c
Théorème : • Si Δ < 0 , le polynôme a x 2+ b x+ c n'a pas de factorisation possible
• Si Δ =0 , a x 2+ b x+ c=a( x−x 0 )2 où x 0 est la racine double
• Si Δ > 0 , a x 2+ b x+ c=a( x−x 1 )( x−x 2) où x 1 et x 2 sont les deux solutions
Exemples : Factoriser

• x 2−3

• 3 x