Fiche rappels
I. Variable aléatoire
1. Définition et exemple
Ex : On lance une pièce de monnaie équilibrée deux fois de suite et on note à chaque lancer P ou F selon que l'on obtient pile ou face. On convient qu'obtenir pile fait gagner 1 € et obtenir face fait perdre 2 € .
Définition : - On note Ω l'ensemble des issues d'une expérience aléatoire.
- Une variable aléatoire discrète X définie sur Ω est une fonction qui à chaque issue de Ω associe un réel. Ex : Ici, - Ω ={FF, FP, PF, PP}.
- La fonction X associe à chaque issue de Ω un gain pour le joueur, qui peut prendre comme valeurs -4,
-1, 2
- L'évènement (X = - 4) est réalisé par l'issue FF
- On a la loi de probabilité
Issue
FF
FP
PF
PP
suivante :

Probabilité

0,25

0,25

0,25

0,25

2. Loi de probabilité d'une variable aléatoire
Définition : On considère un ensemble d'issues Ω fini et une loi de probabilité P sur Ω .
Une variable aléatoire X est définie sur Ω et {x1 ; x2 ; …; xn} les valeurs prises par X. On note (X = xi) l'évènement « X prend la valeur xi ».
Lorsqu'on associe à chaque valeur xi la probabilité de l'évènement (X = xi ), on définit une nouvelle loi de probabilité associée à X, par la donnée des réels xi et des probabilités pi = P (X = xi ).
Cette loi est appelée loi de probabilité de la variable aléatoire X.
Remarque : On présente souvent la loi de probabilité de X sous forme d'un tableau :

xi

x1

x2

...

xn

P (X = x1 ) + P (X = x2 ) + … + P (X = xn ) = p1 + p2 + … + pn = 1

pi = P (X = xi ) p1

p2

...

pn

Ex : P (X = - 4) est la probabilité de l'issue FF, soit 0,25 On obtient donc :
P (X = - 1) est la probabilité des issues FP et PF, soit 0,5
P (X = 2) est la probabilité de l'issue PP , soit 0,5

xi

-4

P (X = xi ) 0,25

-1

2

0,5

0,25

II. Espérance, variance, écart type
Dans toute cette partie, on se donne un loi de probabilité définie sur Ω , xi
X une variable aléatoire sur Ω de loi de probabilité ci-contre.

x1

x2

...

xn

pi = P (X = xi ) p1

p2

...

pn

1. Espérance
Définition