I) Épreuve de Bernoulli
Définition 1 : On appelle épreuve de Bernoulli de paramètre p toute expérience aléatoire n'admettant que deux issues,
• l'une appelée « succès », notée S, dont la probabilité d'apparition est p
• l'autre appelée « échec », notée E ou ̄
S , dont la probabilité est 1 – p .
Exemple : On lance un dé cubique équilibré et on s'intéresse à l'apparition de S : « obtenir un 6 ».
1
C'est une épreuve de Bernoulli de paramètre p=
.
6
Propriété 1 : Dans une épreuve de Bernoulli de paramètre p, la variable aléatoire X, prenant la valeur 1 si S se produit et 0 sinon, a la loi de probabilité ci-contre.
Alors : • E[X] = p

k p (X = k)

0

1

1–p

p

• Var(X) = p (1 – p)

→ On dit que X suit la loi de Bernoulli de paramètre p.
Définition 2 : On appelle schéma de Bernoulli une répétition d'épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes.
Remarque : On représente en général un schéma de Bernoulli par un arbre.
II) Loi binomiale
1) Définition, espérance et variance
Définition 3 : On considère un schéma de Bernoulli, répétition de n épreuves de Bernoulli indépendantes et identiques, de même paramètre p. Soit X la variable aléatoire qui associe à cette répétition d'épreuves le nombre de succès.
La loi de probabilité de X est appelée loi binomiale de paramètres n et p. On la note souvent � �(n ; p) .
Exemple : On lance 4 fois de suite le dé. X est la variable aléatoire égale au nombre de 6 obtenus.
1
Alors X suit la loi binomiale � �(4 ;
).
6

Propriété 2 : Si X est une variable aléatoire qui suit la loi binomiale de paramètres n et p, alors :
• E[X] = n p
• Var(X) = n p (1 – p)
Exemple :

• E[X] =

4 2
=
6 3

• Var(X) =

4
1 4 5 20
(1− )= × =
6
6 6 6 36

2) Nombre de succès
Définition 4 : On représente à l'aide d'un arbre un schéma de Bernoulli, répétition de n épreuves identiques et indépendantes. n Pour tout entier k, tel que 0 ≤ k ≤ n, le nombre de chemins réalisant k succès est noté
.
k
Ce nombre est appelé coefficient binomial. n 0 =1
Remarque/Notation : •