Cours maths numeriques

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Math´matiques Num´riques e e et Analyse de Donn´es e
ESIAL 1 ann´e e
`re e

Notes de cours r´dig´es par B. Pin¸on et J.-F. Scheid e e c

2007-2008

Table des mati`res e
1 Arithm´tique flottante e 1.1 Repr´sentation d’un nombre en virgule flottante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 1.1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.2 D´finitionformelle d’un syst`me fini de repr´sentation en virgule flottante e e e 1.1.3 Approximation d’un nombre r´el par un nombre flottant . . . . . . . . . . e 1.1.4 Erreur entre un r´el et son repr´sentant flottant : le epsilon machine . . . e e 1.2 La norme IEEE 754 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 1.2.2 Valeurs caract´ristiques des flottants IEEE . . . . . . . . . . . . . . . . . e 1.2.3 Remarques sur le codage des flottants IEEE . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.4 L’arithm´tique avec les nombres sp´ciaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . e e 1.3 Quelques cons´quences sur les calculs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 1.3.1 Introduction . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.2 La soustraction de deux nombres proches . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.3 Calculs d’erreurs classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.4 Notions sur le conditionnement d’un probl`me . . . . . . . . . . . . . . . e 1.3.5 Stabilit´ d’un algorithme : un exemple simple . . . . . . . . . . . . . . . . e 1.4 Recetteset rem`des . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 1.4.1 G´neralit´s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e e 1.4.2 Probl`mes d’overflow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 1.4.3 Quelques algorithmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 5 5 5 7 8 9 9 9 10 10 11 11 12 13 15 17 17 17 18 1925 25 25 27 27 28 29 31 31 32 33 34 34 35 36 37 37 38 38 39

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2 R´solution de syst`mes lin´aires e e e 2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 2.2 La m´thode de Gauss (rappels) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 2.3 L’interpr´tation matricielle de la m´thode de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e e 2.3.1 Quelques notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.2 Action d’une matrice de la forme M = I + z(ek )⊤ . . . . . . . . . .. . . . . . . . 2.3.3 Th´or`me 1 : La d´composition A = LU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e e e 2.3.4 Quelques autres r´sultats th´oriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e e 2.3.5 Utilisation d’une d´composition pour r´soudre un syst`me lin´aire . . . . . . . . . e e e e 2.3.6 Coˆt de la m´thode de Gauss/LU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. u e 2.3.7 A quoi sert la formalisation de la m´thode de Gauss en d´composition sur la matrice ? e e 2.4 Deux autres d´compositions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 2.4.1 La d´composition A = LDL⊤ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 2.4.2 La d´composition de Cholesky A = CC ⊤ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 2.5 C’estfini ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Interpolation polynomiale 3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Base canonique - Syst`me de Van-der-Monde e 3.3 Polynˆme de Lagrange . . . . . . . . . . . . . o 3.4 Base de Newton - Diff´rences divis´es . . . . e e 1

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