3ème : Chapitre1 : Nombres entiers et rationnels
1. Multiples diviseurs : définition
1.1 Définition a et b sont deux entiers naturels (non nuls).
SI a=b×c avec c un entier ALORS on dit que b est un diviseur de a et que a est un multiple de b.
Exemple : 8=4×2 donc 8 est un multiple de 2 ; 8 est un multiple de 4 ; 8 est divisible par 2 ; 8 est divisible par 4 ; 2 est un diviseur de8 ; 4 est un diviseur de 8.

1.2 Critères de divisibilité

1.3 Nombre premier
Définition : Un nombre entier positif qui admet exactement deux diviseurs est un nombre premier.
Remarque : Tout nombre entier strictement supérieur à 1 admet au moins deux diviseurs : 1 et lui-même.
Exemples :
● Les diviseurs de 23 :
1;2;3;4;5;6;7;8;9;10;11;12;13;14;15;16:17:18:19;20;21;22;23
1 et 23 sont les diviseurs de 23 donc 23 est un nombre premier
● Les diviseurs de 6 : 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6
6 n'est pas un nombre premier
● 1 n'admet qu'un seul diviseur donc 1 n'est pas un nombre premier.
● 2;3;5;7;11;13;17;19 sont des nombres premiers

2. Diviseurs communs à deux entiers naturels
2.1 Un exemple de recherche (long)
Enoncé :
1. Donner tous les diviseurs communs à 12 et 18
2. Quel est le plus grand diviseur commun à 12 et 18 ?
Solution :
Diviseurs de 12 : 1 ;2;3;4; 5 ;6 ; 7;8;9;10;11 ;12
Diviseurs de 18 : 1;2;3; 4 ;5 ;6 ; 7;8 ;9;10;11;12 ;13;14 ;15;16;17; 18
1;2;3 et 6 sont des diviseurs communs à 18 et 12
6 est le plus grand diviseur commun à 18 et 12 doc a.garland

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3eme : Collège Jules Ferry de Neuves Maisons

2.2 Propriétés des diviseurs communs à deux entiers naturels
Soient a et b deux entiers naturels non nuls (a>b)
Un diviseur commun à a et b est un diviseur :
-de leur somme,
-de leur différence
-du reste de la division euclidienne de a par b.
Exemple : 5 est un diviseur de 40 et de 15 donc 5 est un diviseur de 55 (la somme de 40 et 15) donc 5 est un diviseur de 25 (la différence de 40 et 15) donc 5 est un diviseur de 10 (reste de la division euclidienne de 40 par 15)

2.3 Algorithme d’euclide