Cours Proba
Introduction : Soit un bocal contenant 3 boules jaunes, 2 boules rouges, 1 boule bleue. On en tire une, puis une autre, sans remettre la première dans le bocal. Soit A : ”La première boule tirée est jaune” Soit B : ”La deuxième boule tirée est jaune”.
Sur 6 boules, il y a 3 boules jaunes, donc p(A) = 63 = 0.5. Si je ne sais rien du premier tirage, p(B) = également : chacune des 6 boules a autant de chance d’être tirée au deuxième tour.
3
6
= 0.5
Si maintenant on sait que l’événement A a été réalisé, c’est-à-dire qu’une boule jaune a été tirée au premier tour, la probabilité de B s’en trouve modifiée : on sait qu’une boule jaune est en dehors du bocal. Il ne reste donc plus que
5 boules dont 2 jaunes : la probabilité de B sachant que A a été réalisé est de 25 = 0.4 au lieu de 0.5 quand on ne savait rien du premier tirage. On note : pA (B) = 0.4 où pA (B) se lit ”probabilité de B sachant A”. C’est la probabilité conditionnelle de B sachant A.
1. definition
Considérons une épreuve aléatoire d’univers Ω et un événement B tel que p(B) = 0.
La probabilité conditionnelle de B sachant A, notée pA (B), est le nombre pA (B) =
Définition
p(A∩B) p(A) .
Remarque :
– Comme toute probabilité, pA (B) est un nombre compris entre 0 et 1.
– Pour retenir la formule, notez que : ”la même lettre (le A ici) est en bas des deux côtés de l’égalité”...
– Cette formule est utilisée pour calculer une probabilité conditionnelle pA (B), si l’on connaît préalablement p(A) et p(A ∩ B).
– pB (A) = p(A∩B) p(B) et différent de pA (B).
2. Réciproque : trouver p(A ∩ B) connaissant pA (B) pA (B) =
p(A∩B) p(A) Proposition
donc p(A ∩ B) = p(A)pA (B).
p(A ∩ B) = p(A)pA (B)
Remarque :
– Cette formule est utilisée pour calculer p(A ∩ B) lorsqu’on connaît déjà pA (B) et p(A) (ou pB (A) et p(B)). 3. exercices
• Pour apprendre à traduire des données en pourcentage en terme de probabilités et de probabilités