Cours produit scalaire

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Produit scalaire

1. Projection orthogonale d’un vecteur sur un vecteur.
Dans tout ce chapitre, on travaille dans un plan vectoriel.

[pic]

Théorème :
Soit [pic] un vecteurnon nul
Quelque soit le vecteur [pic], il existe un unique vecteur [pic] tel que :
[pic]

Définition :
Le vecteur [pic] est appelé projection orthogonale de [pic] sur [pic] et noté [pic]Théorème :
Soit [pic] un vecteur non nul alors pour tout vecteur [pic] et [pic] et pour tout réel [pic]
[pic]

2. Définition
Définition :
Si [pic] et [pic] sont des vecteurs colinéaires, onappelle produit scalaire de [pic] et [pic] et on note [pic] le nombre réel défini par [pic] si [pic] et [pic] ont le même sens et [pic] si [pic] et [pic] sont de sens contraires.
Si [pic] et [pic] nesont pas colinéaires :
[pic]
[pic]
[pic]

Remarque :
Dans un produit scalaire, on peut toujours remplacer un des deux vecteurs par sa projection sur l’autre.

3. Autres expression duproduit scalaire
Démonstration :
[pic]
[pic] [pic]

Théorème :
Pour tout vecteur [pic] et [pic]
[pic]

4. Propriétés
Théorème :
Pour tous vecteurs [pic], [pic], [pic] et tout réel [pic](1) [pic] donc [pic]
(2) [pic] ssi [pic]
(3) [pic]
(4) [pic]
(5) [pic]
(6) [pic]
(7) [pic]
(8) [pic]
(9) [pic]
(10) [pic]

Démonstration :
1) Par définition
2)[pic] ssi [pic] ou [pic] ssi [pic] (Le vecteur [pic] est orthogonal à tous vecteurs)
3) [pic]
4) Si [pic] et [pic] sont colinéaires, soit [pic] un vecteur unitaire colinéaire à[pic].
Dans le repère (O ; [pic]) [pic]([pic]) [pic]([pic]’) donc [pic]
1er cas : [pic] et [pic] de même sens.
[pic] et [pic] sont de même signe.[pic] or [pic]
[pic]
Cas 1.1 : [pic]
[pic] et [pic] sont de même sens.
[pic] et [pic]’ sont de même signe.
[pic] or [pic]
Donc...
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