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Cours produit scalaire

647 mots 3 pages
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Produit scalaire

1. Projection orthogonale d’un vecteur sur un vecteur. Dans tout ce chapitre, on travaille dans un plan vectoriel.

[pic]

Théorème : Soit [pic] un vecteur non nul
Quelque soit le vecteur [pic], il existe un unique vecteur [pic] tel que : [pic]

Définition : Le vecteur [pic] est appelé projection orthogonale de [pic] sur [pic] et noté [pic]

Théorème : Soit [pic] un vecteur non nul alors pour tout vecteur [pic] et [pic] et pour tout réel [pic] [pic]

2. Définition
Définition :
Si [pic] et [pic] sont des vecteurs colinéaires, on appelle produit scalaire de [pic] et [pic] et on note [pic] le nombre réel défini par [pic] si [pic] et [pic] ont le même sens et [pic] si [pic] et [pic] sont de sens contraires.
Si [pic] et [pic] ne sont pas colinéaires : [pic]
[pic]
[pic]

Remarque :
Dans un produit scalaire, on peut toujours remplacer un des deux vecteurs par sa projection sur l’autre.

3. Autres expression du produit scalaire
Démonstration :
[pic]
[pic] [pic]

Théorème :
Pour tout vecteur [pic] et [pic] [pic]

4. Propriétés
Théorème :
Pour tous vecteurs [pic], [pic], [pic] et tout réel [pic] (1) [pic] donc [pic] (2) [pic] ssi [pic] (3) [pic] (4) [pic] (5) [pic] (6) [pic] (7) [pic] (8) [pic] (9) [pic] (10) [pic]

Démonstration : 1) Par définition 2) [pic] ssi [pic] ou [pic] ssi [pic] (Le vecteur [pic] est orthogonal à tous vecteurs) 3) [pic] 4) Si [pic] et [pic] sont colinéaires, soit [pic] un vecteur unitaire colinéaire à [pic]. Dans le repère (O ; [pic]) [pic]([pic]) [pic]([pic]’) donc [pic] 1er cas : [pic] et [pic] de même sens. [pic] et [pic] sont de même signe. [pic] or [pic] [pic] Cas 1.1 : [pic] [pic] et [pic] sont de même sens. [pic] et [pic]’ sont de même signe. [pic] or [pic] Donc

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