Cours statistique

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Probabilit´s et statistique e
Benjamin JOURDAIN 3 septembre 2008

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Remerciements
Je tiens ` remercier a – les membres de l’´quipe enseignante du cours de probabilit´s et statistique de e e premi`re ann´e, Aur´lien Alfonsi, Mohamed Ben Alaya, Anne Dutfoy, Michel de e e e Lara, Julien Guyon, Tony Leli`vre, Jean-Michel Marin, Mohamed Sbai et Alain Toue bol qui ont apport´ denombreuses am´liorations ` ce polycopi´ par leurs remarques e e a e et qui ont contribu´ ` la compilation de corrig´s d’exercices du chapitre 10, ea e – Jean-Fran¸ois Delmas pour les emprunts qu’il m’a permis de faire au polycopi´ [6] c e de son cours de premi`re ann´e ` l’ENSTA et au recueil d’exercices de son cours de e e a statistique de seconde ann´e ` l’Ecole des Ponts. e a ´

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Table desmati`res e
1 Introduction : probabilit´ sur un espace fini e 1.1 Probabilit´ sur un espace fini, ´v´nements . e e e 1.1.1 D´finitions . . . . . . . . . . . . . . . e 1.1.2 Probabilit´s uniformes . . . . . . . . e 1.2 Probabilit´ conditionnelle et ind´pendance . e e 1.2.1 Probabilit´ conditionnelle . . . . . . e 1.2.2 Ind´pendance . . . . . . . . . . . . . e 1.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 1.4 R´sum´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e e 2 Variables al´atoires discr`tes e e 2.1 Espace de probabilit´ . . . . . . . . . . e 2.2 Variables al´atoires discr`tes . . . . . . e e 2.2.1 Rappel sur les manipulations de 2.2.2 D´finition . . . . . . . . . . . . e 2.2.3 Ind´pendance . . . . . . . . . . e 2.2.4 Lois discr`tes usuelles . . . . . . e 2.2.5 Loi marginale . . . . . . . .. . 2.3 Esp´rance et variance . . . . . . . . . . e 2.3.1 Esp´rance . . . . . . . . . . . . e 2.3.2 Variance . . . . . . . . . . . . . 2.4 Loi et esp´rance conditionnelles . . . . e 2.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6 R´sum´ . . . . . . . . . . . . . . . . . e e 3 Variables al´atoires ` densit´ e a e 3.1 Manipulation d’int´grales multiples e 3.1.1 Th´or`me de Fubini . . . . e e3.1.2 Changement de variables . . 3.2 Variables al´atoires r´elles ` densit´ e e a e 3.2.1 D´finition . . . . . . . . . . e 3.2.2 Densit´s r´elles usuelles . . e e 3.2.3 Esp´rance, variance . . . . . e iii 1 1 1 4 5 5 7 8 10 11 11 12 12 13 13 14 17 18 18 22 24 26 31 33 33 33 34 36 36 37 39

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iv 3.2.4 Fonction de r´partition . . . .. e Vecteurs al´atoires ` densit´ . . . . . . e a e 3.3.1 D´finition . . . . . . . . . . . . e 3.3.2 Densit´ marginale . . . . . . . . e 3.3.3 Changement de variables . . . . 3.3.4 Ind´pendance . . . . . . . . . . e 3.3.5 Covariance . . . . . . . . . . . . 3.3.6 Loi et esp´rance conditionnelles e Lois b´ta, gamma, du chi 2, de Student e Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . R´sum´ . . . ....
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