Cours statistiques

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OUTILS STATISTIQUES

PARTIE 2

CHAPITRE VI
LES PROBABILITES
Les probabilités font presque partie de la vie courante. Elles sont à la base de calcul ou d’évaluation d’espérance de gain à un jeu ( la loterie par exemple), elles servent également lors de paris entre plusieurs personnes : quelle est ma probabilité de gagner, j’ai une chance sur deux d’avoir raison, j’ai une chance sur troisd’avoir un troisième garçon…Ce sont là des probabilités que les individus estiment d’eux-mêmes et qui ne reposent pas sur des calculs statistiques. Ce chapitre présente les différents types d’événements auxquels les individus peuvent être confrontés avant de procéder au calcul de probabilités « réelles ». I. DEFINITIONS La probabilité d’un événement appelé A est le rapport entre le nombre de casfavorables sur le nombre de cas possibles. Elle est notée P(A). P( A ) = nombre de cas favorables nombre de cas possibles

L’événement contraire à l’événement A est appelé A (non A). Sa probabilité [P( A )] est égale à : P( A ) = 1 − P( A )
Par exemple : lorsque l’on jette un dé, la probabilité de faire un 5 est de 1/6 puisqu’il y a six faces sur un dé non pipé. En statistique, cela s’écrit :

P( 5) = 1 / 6 et P( 5 ) = 1 − 1 / 6 = 5 / 6

Une interprétation peut être faite dans la théorie des ensembles : tous les cas possibles sont représentés comme un ensemble d’éléments, au sein duquel se situe l’ensemble des cas favorables :

Nombre de Cas Possibles

Nombre de Cas

Favorables

Un événement est un sous-ensemble de l’ensemble des cas possibles. De la même façon, il est possiblede représenter la probabilité d’un événement P(A) et de son contraire P( A ) :

Marie-Pierre GRANDJACQUOT

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PARTIE 2

A

A

II.

LES PROBABILITES TOTALES

Le travail s’effectue avec deux événements notés A et B. Avec deux événements, il existe plusieurs cas possibles : les événements sont incompatibles les événements sont compatibles Ces deux cas sontprésentés de façon plus détaillée ci-après Cas d’événements incompatibles : Les événements sont incompatibles dès lors qu’ils ne peuvent se produire en même temps.
Par exemple : on lance deux dés non pipés de six faces chacun. L’événement A « faire 14 points » en ajoutant les faces des deux dés est incompatible avec l’événement B « obtenir 16 points ».

Cela s’écrit : P( A et B ) = P( A ∩ B ) = 0 Onpeut également écrire, dans le cas d’événements incompatibles : P( A ou B ) = P( A ∪ B ) = P( A ) + P( B ) Cas d’événements compatibles : Les événements sont compatibles dès lors qu’ils peuvent se réaliser en même temps.
Par exemple : dans un jeu de 32 cartes, l’événement A « tirer un roi » est compatible avec l’événement B « tirer un trèfle » car il existe un roi de trèfle. On peut écrire, paropposition au cas précédent :

P( A et B ) = P( A ∩ B ) = P( A ) × P( B ) ≠ 0

P(roi de trèfle) = P(roi) x P(trèfle) = 4/32 x 8/32 = 1/32 En ce qui concerne la réunion des deux événements, elle n’est pas vide. Dans l’exemple du jeu de cartes, la réunion des deux événements donne que des rois ou que des trèfles, donc pas de roi de trèfle qu’il faut retrancher du calcul de la probabilité.

P(A ou B ) = P( A ∪ B ) = P( A ) + P( B ) − P( A ∩ B )
P(roi ou trèfle) = P(roi) + P(trèfle) – P(roi de trèfle) = 11/32

De la même façon, lorsqu’il y a trois événements compatibles :
P(A ou B ou C) = P(A) + P(B) + P(C) – P(A et B) – P(A et C) – P(B et C) + P(A et B et C)

Marie-Pierre GRANDJACQUOT

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PARTIE 2

La première étape, avant même de réaliser le calculdes probabilités de deux ou plusieurs événements, consiste à identifier s’il s’agit d’événements compatibles ou incompatibles entre eux.

III.

LES PROBABILITES CONDITIONNELLES

Une probabilité conditionnelle est la probabilité qu’un événement se réalise sachant qu’un autre événement est déjà réalisé. Cette probabilité est notée P(A/B) et se lit « probabilité de A sachant B réalisé. »...
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