Cours sur les barycentres
I. Barycentre de deux points pond´er´es
Th´eor`eme :
Soient A et B deux points et  et  deux r´eels.
Si    0, alors il existe un unique point G tel que 
ÝÑ
GA 
ÝÝÑ
GB 
ÝÑ0 .
D´efinition :
Soient A et B deux points et  et  deux r´eels tels que    0.
L’unique point G tel que 
ÝÑ
GA 
ÝÝÑ
GB 
ÝÑ0 est appel´e barycentre des points A et B affect´es des coefficients et . remarques :

On dit aussi que G est le barycentre des points pond´er´es (A, ) et (B, ), ou encore que G est le barycentre du syst`eme (A, ) ; (B, ).
On note : G = bar (A, ) ; (B, )

Si  = , on dit que G est l’isobarycentre des points A et B (A et B ´etant deux points distincts).
Th´eor`eme :
Soit G le barycentre des points pond´er´es (A, ) et (B, ), avec    0.
Alors, pour tout point M du plan, on a : p q
ÝÝÑ
MG  
ÝÝÑ
MA 
ÝÝÑ
MB
D’o`u l’on d´eduit :
ÝÝÑ
MG 

ÝÝÑ
MA

ÝÝÑ
MB
d´emonstration :
On sait que 
ÝÑ
GA 
ÝÝÑ
GB 
ÝÑ0
Donc, `a l’aide de la relation de Chasles : p
ÝÝÑ
GM
ÝÝÑ
MAq p
ÝÝÑ
GM
ÝÝÑ
MBq 
ÝÑ0
Donc : 
ÝÝÑ
GM 
ÝÝÑ
MA 
ÝÝÑ
GM 
ÝÝÑ
MB 
ÝÑ0
Donc : p q
ÝÝÑ
GM 
p
ÝÝÑ
MA 
ÝÝÑ
MBq
Donc : p q
ÝÝÑ
MG  
ÝÝÑ
MA 
ÝÝÑ
MB
On en d´eduit que :
ÝÝÑ
MG 

ÝÝÑ
MA

ÝÝÑ
MB
Propri´et´es :

Si G est le barycentre du syst`eme (A, ) ; (B, ) avec    0 et A et B deux points distincts, alors G appartient `a la droite (AB) (ce qui revient `a dire que les points G, A et B sont align´es).
Position du barycentre G sur la droite (AB) : si    0 et  et  deux r´eels tous deux positifs ou tous deux n´egatifs, alors G appartient au segment [AB].

homog´en´eit´e : le barycentre de deux points pond´er´es ne change pas si l’on multiplie les coefficients par un nombre r´eel non nul.
Ce qui se traduit par : si G est le barycentre du syst`eme (A, ) ; (B, ) avec    0, alors G est aussi