Cours sur les graphes

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Quelques définitions
[Français | English]

Vocabulaire de base

  Un graphe est une paire d'ensemble (V,E) où E est une famille de paires (orientées ou non) d'éléments de V.
  Un graphe est dit complet si toute paire de sommets de G est une arête.
  Une clique de G est un sous-graphe complet de G.
  Un stable de G est un sous-graphe de G sans arêtes.
  Le degré d'un sommet deG est le nombre des arêtes qui lui sont incidentes.
  Un graphe est connexe lorsqu'il existe un chemin entre chaque paire de sommets.
 
  Un hypergraphe est une paire d'ensembles (V,F) où F est une famille de sous-ensembles de V. Voir par exemple le livre de Berge, ou le chapitre écrit par Pierre Duchet dans l'ouvrage collectif Handbook of Combinatorics.
 

Quelques invariantscombinatoires

  La taille de la plus grande clique de G est notée omega(G).
  La taille du plus grand stable de G est notée alpha(G).

 

Problèmes d'absorption

  Dans un graphe G non-orienté (resp. orienté) un ensemble absorbant est un ensemble de sommets A tel que tout sommet hors de A a au moins un voisin (resp. successeur) dans A. Le nombre d'absorption de G noté gamma(G), est lataille d'un plus petit absorbant de G. Déterminer la valeur de gamma(G) est un problème NP-difficile, même si G est biparti.
   Dans un graphe orienté un noyau est un ensemble stable et absorbant. Déterminer si un graphe possède un noyau est un problème NP-complet.
Pour ces deux notions voir Berge.

Coloration, Graphes Parfaits

  Dans un graphe (voire un hypergraphe) G = (V, E) unek-coloration est une affectation d'une couleur de l'ensemble des couleurs {1, ..., k} à chaque sommet de telle sorte que, pour toute arête uv de G, les sommets u et v ont une couleur différente (pour un hypergraphe on exige que chaque arête porte au moins deux couleurs). Un graphe est dit k-colorable s'il admet une k-coloration.
Déterminer si un graphe est k-colorable est un problème NP-complet pourtoute valeur fixée de k (si k vaut au moins 3) [REF: Garey & Johnson].
De nombreux problèmes ouverts sur la coloration sont présentés dans le livre de Jensen et Toft.
  Le nombre chromatique de G, noté Chi(G), est le plus petit entier k tel que G est k-colorable.
Sur le thème de la coloration, on visitera avec intérêt la page de Joseph Culberson à l'Université de l'Alberta (Canada).
 Un graphe G est parfait si, pour tout sous-graphe H induit de G, le nombre chromatique de H est égal à la taille d'une clique maximum de H, c'est-à-dire, Chi(H)=omega(H). Pour les graphes parfaits voir Golumbic ou Berge & Chvátal.

 

Flot

  Dans un graphe orienté G un flot est l'affectation d'une valeur réelle à chaque arc de G, représentant une quantité de matière transportée sur cetarc, de telle sorte qu'en chaque sommet la somme des flots entrants soit égale à la somme des flots sortants (loi de Kirchhoff).
On se donne habituellement une capacité maximale sur chaque arc, qui sera une borne supérieure sur le flot autorisé sur cet arc; le problème du flot maximum est alors de trouver un flot dont la valeur sur un certain arc donné (source et puits) est maximum.
On peut deplus se donner un coût de transport d'une unité de flot sur chaque arc, et chercher un flot (maximum) de coût minimum.
Ces problèmes sont bien résolus algorithmiquement, depuis le travail pionnier de Ford et Fulkerson conduisant à des algorithmes polynomiaux, et ont de nombreuses applications et généralisations - voir par exemple le livre récent de Ahuja, Magnanti, Orlin.

 

Connectivité  Un graphe G est k-sommet-connexe (resp. k-arête-connexe) s'il faut ôter au moins k sommets (resp. k arêtes) pour le rendre non-connexe. La connectivité (par sommets ou bien par arêtes) du graphe est le plus grand k tel que G est k-connexe. Ces nombres peuvent être calculés en temps polynomial; en fait on réduit habituellement la résolution des problèmes de connectivité à des problèmes de...
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