Chapitre 2 – Cours
NOMBRES COMPLEXES - TRIGONOMETRIE
Prérequis
- équations et inéquations trigonométriques à l’aide du cercle trigonométrique.
- propriétés des nombres complexes vues en terminale (module argument)
Préambule
Ce chapitre a pour objectifs :
- de déterminer de nouvelles formules de trigonométrie à l’aide des nombres complexes
- de transformer des expressions trigonométriques à l’aide de ces formules
(linéarisation, développement de cos(px) ou sin(px) en fonction de cos x et sinx)
- de résoudre des équations polynômiales à coefficients complexes
- de déterminer les racines n-ième d’un nombre complexe (sous forme exponentielle)
- de déterminer la forme algébrique des racines carrées d’un nombre complexe
- de résoudre une équation du second degré à coefficients complexes

Plan du chapitre
1. Prérequis
Utilisation du cercle trigonométrique
Nombres complexes module argument
2. Applications à la trigonométrie
3. Résolution d’équations polynômiales à coefficients complexes

Chap2 – Cours – Nombres complexes et trigonométrie

Page 1

Chap2 – Cours – Nombres complexes et trigonométrie

Page 2

Prérequis Nombres Complexes (voir thème 4 )
Module – argument – conjugué
Exemple 1. :
Déterminer le conjugué de :

1. z  6 2
2. z  i  3  2i 
Soit z un complexe de forme algébrique : z  x  i y . On appelle module de z le réel positif, noté z , tel que :

z  z z  x 2  y2 .
Questions :
Si z est réel, quel est son module ?
Si z est un imaginaire pur, quel est son module ?
Propriétés :

  z, z  
i)

2

:

z 0z0.

ii) z  z . iii) zz  z z

z z .

z z

iv) Si z est non nul :

v) Pour tout entier naturel n non nul : z  z n vi) z  z  z  z
Exemple 2. :

(inégalité triangulaire)

Calculer le module de :

1. z  4598
2. z  3i



3. z  1  i  3 2  i 7



4. z  1  i 3
5. z 

n





3

1 i 3
1 i

Chap2 – Cours – Nombres complexes et trigonométrie

Page 3

Propriété :
Si A et B sont deux points de P d’affixe respective a et b, alors le