Théorie des langages
Chapitre 5

Langages algébriques
Grammaires algébriques
(à contexte libre, free context)

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VI. Grammaires algébriques
VI.1. Définitions et notations
Définition :
Une grammaire algébrique (ou à contexte libre) est la structure G=(V,T,P,S) où
V  T=  et =V  T avec :
V: ensemble de symboles appelés variables.
T: ensemble de symboles appelés terminaux.
P  V  *: ensemble de règles appelées règles de production.
S : un symbole particulier appelé axiome (symbole initial).

Notation :
Chaque règle de production (A,) est notée A  .

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VI. Grammaires algébriques
VI.1. Définitions et notations
Exemple 1 :
G=(V,T,P,S) avec V={S},T={a, b}
P: SaSb
Sε

Exemple 2 :
G=({S}, {+, *, (, ), a}, P, S) où P est défini par:
S  S+S
S  S*S
S  (S)
Sa

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VI. Grammaires algébriques
VI.1. Définitions et notations
Convention :
Les lettres capitales A, B, C, D,… désignent les variables.
Les lettres minuscules a, b, c, d… désignent les terminaux.
 ,, … désignent des chaines (mots) de variables et/ou de terminaux.
Simplification de la notation d’une grammaires :
Les règles de production ayant le même coté gauche A  1, A  2,… A  k sont regroupées comme suit: A  1|2|…|k
Exemples :
1) SaSb| ε
2) S  S+S| S*S| (S)| id

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VI. Grammaires algébriques
VI.2. Dérivation et langages
Dérivation et langages :
Soit G=(V, T, P, S) une grammaire algébrique (CFG).
On définit la relation  sur * (" dérive directement de"):
Soient ,   *
   s.s.s =uAv, u  *, A  , v *
 =u v
Et (A ) P

Exemple :
S  aSb  aaSbb  aaaSbbb  a3b3

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VI. Grammaires algébriques
VI.2. Dérivation et langages
Remarque :
La relation  n’est pas en général réflexive, ni transitive.
*
D’où on définit la relation  comme étant la fermeture réflexive et transitive de 
La relation * est lue: " dérive de ".
Notation :
Soient ,   *
Si i dérive de  par l’application d’exactement i productions, alors on note:

Définition: i *

 s.s.s  i  0 tel