TN18 – Technologie I pour les STI/STL

Les torseurs en mécanique

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Les torseurs en mécanique

1 - Rappel de définitions
2 - Torseur
3 - Torseur cinématique
4 - Torseur statique

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1 - Rappel de définitions
1.1. Champ de vecteurs
Soit (ε) l’espace affine à trois dimensions et (E) l’espace vectoriel associé. r V
Une fonction vectorielle F qui associe à tout point P derl’espace
(ε)
un vecteur r de l’espace (E) définit un champ de vecteurs. On note V = F (P )
1.2. Champ uniforme r r
Considérons la fonction vectorielle
F
qui associe au point P un vecteur
V
= F (P ) r r et au r point rQ un vecteur V ' = F (Q ) .
Si F (Q ) = F (Q ) quelque soit P et Q ∈ (ε ) , alors on dit que le champ de vecteurs est uniforme.
1. 3. Champ de moments r r
Considérons la fonction vectorielle
F
qui associe au point P un vecteur
V
= F (P ) r r et au point Q un vecteur r V ' = F (Q ) .
S’il
r existe r un vecteurr S tel que :
F (Q ) = F ( P ) + QP ∧ S quelque soit P et Q ∈ (ε ) , alors ont dit que le champ de vecteurs est un champ de r moments. On le note M et on écrit : r r r (1)
M Q = M P + QP ∧ S
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1 - Rappel de définitions
1.4. Propriété d’équiprojectivité du champ de moment
Multiplions scalairement par QP les deux membres de la relation (1) : r r r M Q = M P + QP ∧ S r r r QP ⋅ M Q = QP ⋅ M P + QP ⋅ QP ∧ S
14
42
3
r 44
0
r r QP ⋅ M Q = QP ⋅ M P

(

)

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2 - Torseur

2.1. Définition r on désigne par torseur {τ } , l’ensemble du vecteur
S
r appelé résultante et du champ de moment noté M . r M P est appelé moment du torseur {τ }au point P.

2.2. Eléments de r r réduction
M
La résultante S , le moment en P, P , sont les éléments de réduction du torseur {τ } au point P. on note : r  S 
{τ }=  r 
MP
P

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2 - Torseur
Considérons une base orthonormée directe ( x , y , z ) . r r r r
Notons S = X x + Y y + Z z r r r

et

r r r r M P = LP x