Cours d'actuariat non vie

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République Algérienne Démocratique et Populaire
Ministère de l'Enseignement Supérieur et de la Recherche Scientifique
École Nationale Supérieure de Statistique et d'Économie Appliquée

Cour d'Actuariat non-vie

5éme Année d'Ingénierie, Option : Finance et Actuariat Professeur: M. Zerrouki

Chapitre 1 Principes Classiques de Calcul des Primes Primes de risque et primes collective: Uneprime est un montant fixe perçu par les compagnies d'assurance dans le but de compenser les dépenses résultant des sinistres, en sachant que les montants des sinistres sont la réalisation d'une variable aléatoire. Soit :
• S : La variable aléatoire représentant le montant cumulé des sinistres durant

l'année. • G[x] : Fonction de répartition de la variable aléatoire représentant le montant cumulédes sinistres durant l'année. Si la distribution de la variable aléatoire « S » était connu il serrait facile de déterminer le montant équitable des primes. Mais en pratique cette hypothèse n'est quasi jamais vérifiée. Pour ce faire, les assureurs disposent de statistiques relatives à un groupe donné (mortalité des hommes ou femmes né en X, sinistre auto des véhicules de X Ch., incendie d'unecertaine catégorie d'entrepôts) un tel ensemble de risque est appelé Collectif. Au sein d'un collectif chaque risque peut être identifié au moyen d'un paramètre λ, l'ensemble des paramètres étant Λ = {λ}. La distinction entre le risque λ et un collectif Λ est fondamental dans l'étude du principe de calcul de prime. Risque λ: Paramètre λ (éventuellement inconnu) S λ : Distribution du montant dessinistres du risque λ. G λ [x] : La fonction de répartition de S λ .
1.

Collectif : Ensemble des risques λ : Λ = {λ} S : distribution du montant des sinistres. G(x) : fonction de répartition de S.
2.

Pour chaque distribution de S ou S λ nous devons déterminer un principe d'équivalence pour déterminer une prime. Soit H une règle qui permet d'associer à toute fonction de répartition G (x) unnombre P c tel que : P c = H [G (x)].

Si G λ(x) et la fonction de répartition associer à λ tel que : Pr = H [G λ (x)], mais elle est partiellement ou complètement inconnu et donc P r du paramètre λ est impossible à déterminer. Ce qui implique que les compagnies sont obligées de réclamer une prime collectif P c même si elle devra la modifier ultérieurement en fonction de la sinistralité. Lesrapports existant entre P r et P c : Pour se faire, on doit déterminer la structure du risque collectif, en même temps nous devons assimiler λ à une variable aléatoire. Pour étudier sa distribution nous supposons que λ est une variable aléatoire de fonction de répartition U (λ), cette dernière va nous informé sur la distribution de λ dans Λ. La distribution S est alors liée aux distributions S λ par larelation : ���� (����) = ∫Λ �������� (���� ) ��������(����) Et donc G (x) est appelé distribution pondérée des montant de sinistre. Principes classiques de calcul de la Prime : La prime pure pour un risque λ c’est l’espérance mathématique de S λ, il est cependant indispensable à la compagnie de demander plus que la prime pure. En effet l’assureur fait face à des fluctuations aléatoires inhérentes àtout processus stochastique, le montant du sinistre peut donc s’écarter de sa moyenne. L’assureur devra aussi de prémunir contre l’imprécision des estimateurs statistiques. La prime réclamer par l’assureur est donc supérieure à la prime pure et cela afin de compenser les risques du processus stochastique et de l’imprécision des estimateurs. 1. Principe de l’espérance mathématique : La primeréclamée à l’assuré est égal à l’espérance mathématique du risque augmenté d’un chargement de sécurité et donc on obtient : Pour la prime de risque : Avec µ(λ) est l’espérance mathématique du risque cela implique que : ℙ(����) = ����(����) + ���� ����(����) = ����(����)(1 + ���� ) ���������������� ���� > 0 Tandis que pour la prime collectif : ℙ = ���� + ���� ���� = ����(1 + ���� ) ����������������...
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