Cours d'algèbre

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Table des matières

1 Systèmes d'équations linéaires et matrices
1.1 1.2 Introduction aux systèmes d'équations linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1 1.2.1 1.2.2 1.3 Systèmes linéaires et matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Algorithme d'élimination de Gauss .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Méthode de résolution d'un système d'équations linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Elimination Gaussienne

7
7 10 12 13 16 17

Systèmes homogènes d'équations linéaires

2 Eléments du calcul matriciel
2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 Quelques dénitions et opérations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Le produitmatriciel 2.2.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Matrice identité

19
19 20 21 21 22 23 24 24 25 27 29 30 31 32 32

Règles du calcul matriciel L'inversion des matrices 2.5.1 2.5.2 MatricesEcriture matricielle des systèmes d'équations linéaires

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2×2

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Puissances d'une matrice

2.6 2.7 2.8 2.9

Les matrices élémentaires Matrices triangulaires La transposition

Calcul de l'inverse d'une matrice

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.10 La trace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.11 Matrices symétriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.12 Matrices antisymétriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3 Le déterminant
3.1 3.2 3.3 Permutations et déterminants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.1 Méthode pour calculer des déterminants de matrices de taille

33
33 3637 42 43 45 47

2×2

et

3×3

.

Déterminants et opérations élémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Les cofacteurs et la règle de Cramer 3.3.1 3.3.2 3.3.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Calcul du déterminant par la méthode des cofacteurs . . . . . . . . . . . . . . Calcul de l'inverse par la méthode des cofacteurs . . . . . . . . . . . . . .. . Systèmes linéaires : règle de Cramer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4 Calcul vectoriel dans le plan et dans l'espace
4.1 Dénitions et règles de calcul 4.1.1 4.1.2 4.2 4.3 4.4 4.5 4.2.1 4.3.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Systèmes decoordonnées Propriétés du calcul vectoriel

49
49 50 52 52 54 55 58 59 61 61

Le produit scalaire

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Projection orthogonale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Interprétation géométrique du produit vectoriel . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Le produit vectoriel (cross product)

Le produit mixte (triple product) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Droites et plans dans l'espace de dimension 3 4.5.1 Equation du plan passant par un point 3

P0

et ayant vecteur normal

n

. . . . .

4

TABLE DES MATIÈRES

4.5.2

Droites dans l'espace de...