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  • Publié le : 17 décembre 2010
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GEOMETRIE DANS L’ESPACE
Avant tout, rappelons une propriété fondamentale : Tout théorème de Géométrie plane s’applique dans n’importe quel plan de l’espace.

1 ) VECTEURS DE L’ESPACE
Les définitions et propriétés des vecteurs du plan s’étendent à l’espace. Comme dans le plan, à tout couple de points A et B de l’espace, on associe le vecteur AB .
ABCDEFIJ est un cube EGHJKLMN est unparallélépipède rectangle tel que HM = CI et JH = 2JI

Les exemples de ce chapitre se réfèrent au dessin ci-contre

Lorsque A B, la direction de AB est celle de la droite ( AB ) , le sens de AB est le sens de A vers B et la longueur ou norme de AB , notée AB , est la distance AB . Lorsque A = B , AA est le vecteur nul, noté 0 . On désigne souvent les vecteurs par une seule lettre, par exemple u ,v , w … Pour tout point O de l’espace et pour tout vecteur u , il existe un unique point A tel que OA = u .

VECTEURS EGAUX
Chacune des propriétés suivantes signifie que les vecteurs non nuls AB et DC sont égaux : AB et DC ont même direction, même sens et même norme. ABCD est un parallélogramme, c'est à dire [ AC ] et [ BD ] ont même milieu . ( Si A, B, C et D sont alignés, on dit que ABCD estun parallélogramme aplati )

REGLES DE CALCUL
Les règles de calcul sur les vecteurs de l’espace sont analogues aux règles de calcul sur les vecteurs du plan. RELATION DE CHASLES : Ex : AB + BF = AD + DI = DE + KL =

REGLE DU PARALLELOGRAMME : Ex : DC + DJ = JN + JH = DC + DJ + DA =

OPPOSE D’UN VECTEUR : Ex : AB = JN + LG = a( u + v )=a u +a v , (a+b) u =a u +b u , a ( b u ) = ( a b ) u ,au =0 a = 0 ou u = 0 etc …

MULTIPLICATION D’UN VECTEUR PAR UN REEL : Pour tous réels a et b, et pour tous vecteurs u et v on a :

VECTEURS COLINEAIRES
Deux vecteurs non nuls u et v qui ont la même direction sont dits colinéaires. Par convention le vecteur nul est colinéaire à tout autre vecteur. Dire que deux vecteurs non nuls u et v sont colinéaires revient à dire qu’il existe un réel k telque u = k v Ex : EG = 2 AB Dire que les points A, B et C ( distincts ) sont alignés revient à dire qu’il existe k Ex : Montrer que les points D, I et M sont alignés. IR tel que AC = k AB

2 VECTEURS ORTHOGONAUX
Deux vecteurs non nuls u et v dont les directions sont orthogonales sont dits orthogonaux. On note u Par convention le vecteur nul est orthogonal à tout autre vecteur. v .

Ex :

ADNM

VECTEURS COPLANAIRES
Les vecteurs u , v , w , … , de l’espace sont dits coplanaires lorsqu’un point O quelconque et les points Cette définition ne dépend A, B ,C, … , définis par OA = u , OB = v , OC = w , … , sont coplanaires. pas du point O choisi. Rem : Deux vecteurs sont toujours coplanaires. Si deux vecteurs u et v sont colinéaires, alors quel que soit le vecteur w , les vecteurs u, v et w sont coplanaires Ex : Montrer que les vecteurs HM , AL et DC sont coplanaires.

u , v et w sont trois vecteurs de l’espace tels que u et v ne sont pas colinéaires. Dire que u , v et w sont coplanaires revient à dire qu’il existe des réels a et b tels que w = a u + b v .

2 ) REPERES ET COORDONNEES A ) BASE ET REPERE
Soit i , j et k trois vecteurs non coplanaires de l’espace et O unpoint de l’espace, alors : ( i , j , k ) est une base des vecteurs de l’espace ( O ; i , j , k ) est un repère de l’espace On dit que le repère ( O ; i , j , k ) ( la base ( i , j , k ) ) est orthogonal , lorsque les vecteurs i , j et k sont orthogonaux deux à deux . Si, de plus, les vecteurs i , j et k sont unitaires ( ont pour norme 1 ) alors, on dit que le repère ( la base ) est orthonormal .Ex : représentation classique d’un repère orthonormal
(O; i ; j , k )

k j i O

B ) COORDONNEES D’UN POINT, D’UN VECTEUR
Soit ( O ; i , j , k ) un repère de l’espace . A tout point M de l’espace, on peut associer un unique triplet de réels ( x ; y ; z ) tel que : OM = x i + y j + z k On dit que ( x ; y ; z ) sont les coordonnées du point M dans le repère ( O ; i , j , k ) ou que ( x ; y ; z...
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