Chapitre 1. Introduction.

Le but de ce chapitre est de fixer la terminologie que nous emploierons dans ce cours et de pr´senter les probl`mes que nous ´tudierons. Nous come e e men¸ons d’abord par de brefs rappels et par des notations et d´finitions c e diverses.

1. D´finitions, notations et rappels. e
1.1. Points et sous-ensembles des espaces euclidiens. R sera le corps des nombres r´els et C sera celui des nombres complexes. Nous travaillerons e la plupart du temps dans Rn et n d´signera toujours la dimension. Les e n points de R seront g´n´ralement not´s x, y, ξ, η ; les coordonn´es de x ´tant e e e e e (x1 , . . . , xn ). Si U est un sous-ensemble de Rn , U sera la fermeture ou l’adh´rence de e u e e U et ∂U le bord de U , c’est ` dire ∂U = U \ Int U o` Int U d´signe l’int´rieur a de U . Si x et y sont deux points de Rn ou Cn , on pose n x·y =

xj y j , j=1 si bien que la norme euclidienne de x est donn´e par e x = (x · x)1/2 (= (x · x)1/2 si x est r´el) e

2

Chapitre 1.

Nous utiliserons les notations suivantes en ce qui concerne les sph`res et les e n n boules de R : si x ∈ R et r > 0, Br (x) = {y ∈ Rn : x − y < r}, Sr (x) = {y ∈ Rn : x − y = r}. De mˆme dans Cn . Nous noterons Sn la sph`re unit´ de Rn et Bn la boule e e e unit´ de Rn . e 1.2. Multi-indices et d´riv´es partielles. Un n−uplet α = (α1 , . . . , αn ) e e d’entiers positifs sera appel´ un multi-indice. On pose e n |α| = et pour x ∈ Rn ,

αj , j=1 α! = α1 !α2 ! · · · αn !,

xα = xα 1 xα 2 · · · x α n . n 1 2 ∂ ∂xj

Nous utiliserons parfois la notation abr´g´e suivante e e ∂j =

pour la d´riv´e partielle par rapport ` xj et parfois, nous ´crirons e e a e ux j = ∂u , ∂xj uxj xk = ∂ 2u , ∂xj ∂xk ···

Les d´riv´es d’ordres sup´rieurs s’expriment de mani`re concise grˆce aux e e e e a notations multi-indicielles : ∂α = ∂ ∂xj αj =

∂ |α| . ∂xα1 · · · ∂xαn n 1

Notez qu’en particulier, si α = 0, alors ∂ α est l’op´rateur identit´. Avec ces e e notations, il