Second degré
1 Forme réduite et forme canonique
Définition : Une fonction polynôme f de degré n est une fonction définie sur Ë par f( x)=an x n +an−1 x n−1+… +a2x 2+a1x+a0 où les coefficients a0, a1 ,…, an−1 sont des réels quelconques et an est un réel non nul.

Première ES / L

Exemples : • f : x → 5x 6+2x 3−1 et g : x → x 3−x sont des fonctions polynômes de degrés respectifs 6 et 3. 2x 2+3x+1 • u : x → x+1 et v : x → ne sont pas des fonctions polynômes. x−1 Propriété : (admise et Hors Programme) Deux polynômes sont égaux si et seulement si ils sont de même degré et si les coefficients des termes de même degré sont égaux. Définition : Une fonction polynôme f de degré 2 est une fonction définie sur Ë par f( x)=ax 2+ bx+ c où les coefficients b et c sont des réels quelconques et a est un réel non nul. Vocabulaire : • Une fonction polynôme du second degré est aussi appelée trinôme. • Lorsque f( x) est écrit sous la forme f( x)=ax 2+ bx+ c, on dit que f( x) est sous forme réduite.

Exemples : • f : x → 5x 2−2x+1 est une fonction polynôme du second degré. • Soit g : x → (2x+1)( x+1). Pour tout x de Ë, g( x)=(2x+1)( x+1)=2x 2+3x+1. Donc g est une fonction polynôme du second degré. La forme réduite de g( x) est g( x)=2x 2+3x+1. Propriété : (démontrée en exercice) 2+ bx+ c, où a, b et c sont des réels tels Soit f une fonction polynôme du second degré définie sur Ë par f( x)=ax que aý0. 2 Pour tour réel x, f( x) peut s’écrire sous la forme f(x)= a(x−α) +β, où α et β sont des réels. Vocabulaire : Lorsque f( x) est écrit sous la forme f( x)=a( x−α) +β, on dit que f(x) est sous forme canonique. Exemple : La fonction f : x → 3( x+1) −2 est une fonction polynôme de degré 2 dont l’expression est donnée sous forme canonique. La forme réduite est obtenue en développant. On obtient f( x)=3x 2+6x+1. Propriété :
2 2 2

(admise)

Soit f une fonction polynôme du second degré définie sur Ë par f( x)=a( x−α) +β, où a, α et β sont des réels tels que aý0. La représentation