Chapitre

2

Limite d’une suite

1. Page d’ouverture

• Énigme ✱
L’épaisseur d’une feuille est de 0,01 cm. Si on plie la feuille une fois, l’épaisseur est alors 2 ¥ 0,01 cm. Si on plie encore une fois, l’épaisseur est égale à :
22 ¥ 0,01 cm = 22 ¥ 0,01 cm et ainsi de suite… ième pliage, l’épaisseur est donc égale à 2n ¥ 0,01 cm.
Au n
Prenons pour distance moyenne entre la Terre et la Lune d = 384 400 km = 3 844 ¥ 107 cm.
On cherche la première valeur de n pour laquelle
0,01 ¥ 2n  3 844 ¥ 107 c’est-à-dire 2n  3 844 ¥ 109.
On trouve n = 49 (voir algo EnigmeTerreLune.sce).

• Énigme ✱✱

1
Dans le triangle ABO, la base BO est de longueur et la n 1 hauteur (AH) issue de A, de longueur .
2n
1
1
¥
1
L’aire du triangle ABO est égale à 2n n =
.
2
4 n2
1
1
L’aide de la scie vaut alors An = n ¥ 2 =
.
4n
4n
Lorsque n devient infiniment grand, Ln est alors constante et l’aire de la scie tend vers 0.

3 a) Pour tout nombre entier naturel n, un+1 – un = un² + un + 5 – un = un² + 5 et un² + 5  0.
b) On peut en déduire que la suite u est croissante.

a) Pour tout nombre entier naturel n,
9n +1
9n+1  0 et 7n  0 donc n  0
7
b) Pour tout nombre entier naturel n, un +1 9n + 2
7n
9
= n +1 ¥ n +1 = un 7
9
7
4

c) De ce qui précède, on déduit que, pour tout nombre u entier naturel n, n +1  1 donc la suite u est croissante. un 5 La suite (an) semble avoir pour limite 0.
La suite (bn) semble avoir pour limite + ∞.
La suite (cn) ne semble pas avoir de limite.
6 a) x2  106 si et seulement si x  103
1
b)  10–10 si et seulement si x  1010 x c) x  108 si et seulement si x  1016

3. Activités d’approche

• Activité 1

2. Vérifier les acquis
1 a) u3 = 5 × 32 + 3 – 3 = 45
Pour calculer v3, on doit calculer successivement v1 puis v2. v1 = v0² + v0 + 1 = 1 v2 = v1² + v1 + 1 = 3 donc v3 = v2² + v2 + 1 = 13
b)

a) f est la fonction définie sur [0 ; + ∞[ par : f ( x ) = 5 x 2 - 20 x - 6