DÉRIVATION
RAPPELS ET COMPLÉMENTS 1
I . Nombre dérivé, Fonction dérivée
Dans tout ce paragraphe, f est une fonction dénie sur un intervalle I de R, C f est sa courbe représentative dans un repère ¡
O; ¡!i , ¡!j
¢
et a est un élément de l'intervalle I.
I - 1 . Définitions et théorème
Dénition : f est dérivable en a si et seulement si l'une ou l'autre des deux propositions équivalentes est réalisée :
– la fonction h 7¡! f (a + h) ¡ f (a) h a une limite nie ` en 0, ou encore que la fonction x 7¡! f (x) ¡ f (a) x ¡ a a pour limite ` quand x tend vers a.
– pour tout réel h tel que a + h 2 I, f (a + h) = f (a) + h` + h#(h) avec lim h!0 #(h) = 0.
Le nombre ` est appelé nombre dérivé de la fonction f en a.
Remarques :
– Si la limite, lorsque h tend vers 0 de la quantité f (a + h) ¡ f (a) h n'existe pas ou est innie, la fonction f n'est pas dérivable en a.
– Le nombre f (a + h) ¡ f (a) h (h 6= 0) est appelé taux de variation de f entre a et a + h.
– Soit A ( a ; f (a) ) et M ( a + h ; f (a + h) ), f (a + h) ¡ f (a) h (h 6= 0) est le coefcient directeur de la droite
(AM).
– à Le nombre dérivé de f en a est noté f 0(a). à Lorsque la fonction f admet un nombre dérivé en a, on dit que f est dérivable en a. à Lorsque f est dérivable en tout point d'un intervalle I inclus dans le domaine de dénition de f , on dit que f est dérivable sur I.
Dénition : Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I.
La fonction dérivée de f sur I est la fonction f 0 qui à tout a dans I associe f 0(a).
Exercice
Soit la fonction f : x 7¡! x2 + x j x2 ¡ 1 j + 1
.
I 1 . Montrer que f est dénie sur R.
I 2 . Montrer que f est dérivable en ¡1 et déterminer f 0(¡1).