Dérivation rappels et compléments

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DÉRIVATION
RAPPELS ET COMPLÉMENTS 1
I . Nombre dérivé, Fonction dérivée
Dans tout ce paragraphe, f est une fonction dénie sur un intervalle I de R, C f est sa courbereprésentative dans un
repère
¡
O; ¡!i , ¡!j
¢
et a est un élément de l'intervalle I.
I - 1 . Définitions et théorème
Dénition :
f est dérivable en a si etseulement si l'une ou l'autre des deux propositions équivalentes est réalisée :
– la fonction h 7¡!
f (a + h) ¡ f (a)
h
a une limite nie ` en 0, ou encore
que la fonction x7¡!
f (x) ¡ f (a)
x ¡ a
a pour limite ` quand x tend vers a.
– pour tout réel h tel que a + h 2 I, f (a + h) = f (a) + h` + h#(h)
avec lim
h!0
#(h) = 0.
Le nombre `est appelé nombre dérivé de la fonction f en a.
Remarques :
– Si la limite, lorsque h tend vers 0 de la quantité
f (a + h) ¡ f (a)
h
n'existe pas ou est innie, lafonction f n'est pas
dérivable en a.
– Le nombre
f (a + h) ¡ f (a)
h
(h 6= 0) est appelé taux de variation de f entre a et a + h.
– Soit A ( a ; f (a) ) et M ( a + h ; f(a + h) ),
f (a + h) ¡ f (a)
h
(h 6= 0) est le coefcient directeur de la droite
(AM).
– à Le nombre dérivé de f en a est noté f 0(a).
à Lorsque la fonction f admetun nombre dérivé en a, on dit que f est dérivable en a.
à Lorsque f est dérivable en tout point d'un intervalle I inclus dans le domaine de dénition de f , on dit que fest dérivable sur I.
Dénition : Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I.
La fonction dérivée de f sur I est la fonction f 0 qui à tout a dans I associe f 0(a).Exercice
Soit la fonction f : x 7¡!
x2 + x
j x2 ¡ 1 j + 1
.
I 1 . Montrer que f est dénie sur R.
I 2 . Montrer que f est dérivable en ¡1 et déterminer f 0(¡1).
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