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ECRICOME 2003
option ECONOMIQUE

EXERCICE 1
On consid`re l’espace vectoriel E = R3 et f l’endomorphisme de E dont la matrice dans la base e → → → canonique B = (− , − , − ) est la matrice A : e1 e2 e3   3 −2 3 2  A= 1 0 0 0 2 1. Calcul des puissances de A 1. D´terminer les valeurs propres λ1 et λ2 de l’endomorphisme f , avec λ1 < λ2 e 2. La matrice A est-elle inversible ? (On ne demandepas la matrice A−1 ). 3. D´terminer une base et la dimension de chacun des sous-espaces propres de f . e 4. Justifier que f n’est pas diagonalisable. → 5. D´terminer le vecteur −1 de E v´rifiant : e u e → • −1 est un vecteur propre de f associ´ ` la valeur propre λ1 u ea → • la premi`re composante de −1 est l. e u → 6. D´terminer le vecteur −2 de E v´rifiant : e u e → • −2 est un vecteur propre de fassocie ` la valeur propre λ2 u a → • la deuxi`me composante de −2 est l. e u → → → → 7. Soit −3 = (1, 1, 1). Montrer que C = (−1 , −2 , −3 ) est une basede E. u u u u 8. D´terminer la matrice de passage P de la la base B dans la base C puis la matrice de passage e de la base C ` la base B. a → → → 9. Montrer que : f (−3 ) = −2 + 2−3 u u u 10. En d´duire que la matrice de f dans la base C est e  10  0 2 T = 0 0 11. Rappeler la relation matricielle entre A et T . 12. Prouver que pour tout ´l´ment n de N∗ il existe un ee  1 0 n  0 2n T = 0 0 r´el αn tel que : e  0 αn  2n la matrice:  0 1  2

On donnera le r´el α1 ainsi qu’une relation entre αn+1 et αn e ECRICOME 2003 Eco Page 1/ 5

13. Montrer que : ∀n ∈ N∗ , αn = n2n−1 En d´duire l’´criture matricielle de An en fonction de n. ee 2. Matrices commutant avec A. M3 (R) d´signant l’ensemble des matrices carr´es d’ordre 3, on consid`re le sous-ensemble C (A) de e e e M3 (R) des matrices M telles que : AM = M A 1. Montrer que C(A) est un sous-espace vectoriel de M3 (R) 2. Pour M appartenant ` M3 (R) on pose M = P −1 M P. a Montrer que : AM = M A ⇐⇒ T M = M T (T est d´finie dans la question 1.10) e 3. Montrer qu’une matrice Mde M3 (R)) v´rifie T M = M T si et seulement si M est de la e   a 0 0 forme  0 b c  o` a, b, c sont trois r´els. u e 0 0 b 4. En d´duire que M appartient ` C(A) si et seulement si il existe des r´els a, b, c tels que : e a e   −a + 2b 2a − 2b −a + b + 2c M =  −a + b 2a − b −a + b + c  0 0 b 5. D´terminer alors une base de C(A) ainsi que la dimension de C(A). e

EXERCICE 2
On consid`re lesfonctions ch et sh d´finies sur R par : e e ch (x) = ex + e−x ex − e−x sh (x) = 2 2

ainsi que la fonction f d´finie sur R par : e x si x = 0 sh (x) f (0) = 1 f (x) = On s’int´resse dans cet exercice ` la convergence de la suite (un )n∈N d´finie par la relation de e a e r´currence : e u0 = 1 ∀n ∈ N un+1 = f (un ) 1. Etude des fonctions ch, sh, et f . 1. Etudier la parit´ des fonctions ch et sh. e2. Dresser le tableau de variations de la fonction sh, puis en d´duire le signe de sh (x) pour x e appartenant ` R. a ECRICOME 2003 Eco Page 2/ 5

3. D´terminer un ´quivalent en +∞ de sh(x). En d´duire l’allure de la courbe repr´sentative de e e e e la fonction sh en +∞. 4. Montrer que la fonction sh r´alise une bijection de R dans R e 5. Etudier les variations de la fonction ch. 6. Montrer que: ∀x ∈ R, ch (x) > sh (x) 7. Donner sur un m´me graphique l’allure des courbes repr´sentatives des fonctions ch et sh. e e 8. Etudier la parit´ de la fonction f . e 9. D´terminer le d´veloppement limit´ d’ordre 3 en 0 de la fontion sh. e e e 10. En d´duire que la fonction f est continue en 0, d´rivable en 0 et d´terminer f (0). e e e 11. Justifier que f est d´rivable sur R∗ et sur R∗ et calculer f(x) pour x ∈ R∗ e + − 12. On pose : ∀x ∈ R+ , h (x) = shx − xch (x) Etudier les variations de h, puis en d´duire le signe de h (x). e 13. D´terminer les variations de f sur R+ et donner l’allure de la courbe repr´sentative de la e e fonction f . (On ne cherchera pas les points d’inflexion). 2. Etude de la suite (un )n∈N . On donne : f (0.8) sh(0.6) 0.9, f (1) 0.85, 0.64, sh(0.8) 0.89, sh(1)...
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