SYSTÈME DE TROIS ÉQUATIONS A TROIS INCONNUES
Le principe de résolution d’un système de trois équations à trois inconnues consiste à former un système équivalent de trois équations dont deux ne contiennent que deux inconnues. Exemple 1.
Résoudre :
2x − y − 3z = 1,
3x + 2y − 2z = − 4
− x − 4y + 6z = 22.
Méthode d’élimination par substitution.
Nous commençons par cette méthode parce qu’elle nous semble plus naturelle pour les débutants. Mais nous conseillons d’utiliser, de préférence, la méthode d’élimination par addition.
De la première équation, tirons l’expression de y en fonction de x et de z :
2x − 3z − 1 = y ou y = 2x − 3z − 1, et remplaçons y par cette expression dans les deux autres équations. On obtient :
3x + 2(2x − 3z − 1) − 2z = − 4,
− x − 4(2x − 3z − 1) + 6z = 22 ; ou :

soit :

3x + 4x − 6z − 2 − 2z = − 4,
− x − 8x + 12z + 4 + 6z = 22 ;
7x − 8z = − 4 + 2 = − 2 ,
− 9x + 18z = 22 − 4 = 18.

Cette dernière équation peut être simplifiée en divisant ses deux membres par 9.
On est donc ramené à résoudre le système :
2x − y − 3z = 1,
7x − 8z = − 2
− x + 2z = 2.
Entre les deux dernières équations, éliminons z par addition :
1
4

7x − 8z = − 2,
− x + 2z = 2

7x − 8z = −2
− 4x + 8z = 8
3x
= 6

On en tire : x = 2.
L’équation : − x + 2z = 2 donne alors :
2z = 2 + x = 2 + 2 = 4, soit : z = 2.

L’équation :
2x − y − 3z = 1 ou y = 2x − 3z − 1, donne enfin : y = 4 − 6 − 1 = − 3.
Ne pas oublier de remplacer x, y, z, par : 2, − 3, 2 dans le système (I), pour vérifier.
Méthode d’élimination par addition.
Eliminons z par addition entre les deux dernières équations
3
1

3x + 2y − 2z = − 4,
− x − 4y + 6z = 22

9x + 6y − 6z = −12
− x − 4y + 6z = 22
8x + 2y
= 10

Eliminons z par addition entre la première et la dernière équation.
2
1

2x − y − 3z = 1,
− x − 4y + 6z = 22 ou :

4x − 2y − 6z = 2
− x − 4y + 6z = 22
3x − 6y
= 24 x − 2y
= 8

Résolvons le système :
8x + 2y = 10
+ x − 2y = 8.
En