Denombrement

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Dénombrement
Exercice 1
Un centre de loisirs accueille 100 enfants. Deux sports sont proposés : le football et le tennis. A la question : Aimez-vous le football ? 60 enfants lèvent la main. A la question : Aimez-vous le tennis ? 45 enfants lèvent la main. A la question : Aimez-vous le tennis et le football ? 18 enfants lèvent la main. En faisant un diagramme représentant ces données, répondreaux questions suivantes : Combien d'enfants aiment le football mais n'aiment pas le tennis ? Combien d'enfants aiment le tennis mais n'aiment pas le football ? Combien d'enfants n'aiment aucun des deux sports ? Combien d'enfants aiment au moins un des deux sports ?

Solution
On représente par un diagramme l'ensemble E des 100 enfants. A l'intérieur de cet ensemble, on dessine les deuxsous-ensembles : F : représentant les enfants qui aiment le football ; T : représentant les enfants qui aiment le tennis.

E

F

T

Les deux ensembles F et T ont une intersection qui correspond à l'ensemble des enfants aimant à la fois le football et le tennis. Cette intersection, notée FT contient 18 éléments. (les 18 enfants qui aiment à la fois le football et le tennis)

FT
18

On sait quel'ensemble F contient 60 éléments (les 60 enfants qui aiment le football) et que parmi ces 60 éléments, 18 se trouvent dans FT. On en déduit que 42 enfants aiment le football mais n'aiment pas le tennis (60 - 18 = 42) De même l'ensemble T contient 45 éléments (les 45 enfants qui aiment le tennis) et parmi ces 45 éléments, 18 se trouvent dans FT. On en déduit que 27 enfants aiment le tennis maisn'aiment pas le football (45 - 18 = 27)

60

42

18

45

18

27

13

Le centre de loisirs accueille 100 enfants, on peut alors terminer le diagramme en notant que : F 100 - (42+18+27) = 100 - 87 = 13 On peut alors dire que : 42 enfants aiment le football mais n'aiment pas le tennis, 27 enfants aiment le tennis mais n'aiment pas le football, 13 enfants n'aiment aucun des deuxsports, 87 enfants aiment au moins un des deux sports.

E
27

42

18

T

Exercice 2
Un sondage auprès de 150 personnes a donné les résultats suivants : A la question «Consommez vous régulièrement de l'alcool ? », 50 personnes répondent oui. A la question «Êtes-vous fumeur ? », 80 personnes répondent oui. A la question «Êtes-vous un fumeur consommant régulièrement de l'alcool ? », 35personnes répondent oui. En faisant un tableau représentant ces données, répondre aux questions suivantes : Combien de personnes sont des fumeurs ne consommant pas régulièrement de l'alcool ? Combien de personnes consomment régulièrement de l'alcool et ne sont pas fumeurs ? Combien de personnes ne sont pas fumeurs et ne consomment pas régulièrement de l'alcool ? Combien de personnes sont fumeurs ouconsomment régulièrement de l'alcool ?
Remarque : Cet exercice pourrait aussi être traité en utilisant un diagramme comme dans l'exercice 1.

Solution
On peut créer le tableau suivant dans lequel on place les données du texte : Consommateurs Non d'alcool consommateurs 35 Total 80

Fumeurs Non fumeurs Total

50

150

On peut ensuite compléter ce tableau en effectuant les opérationssuivantes :

Fumeurs Non fumeurs Total

Consommateurs Non d'alcool consommateurs 35 80 - 35 = 45 50 - 35 = 15 50 150 - 50 = 100

Total 80 150 - 80 = 70 150

On peut alors terminer le tableau en remplissant la dernière cellule. Deux calculs sont possibles : 70 - 15 ou 100 - 45 et ils donnent le même résultat : 55 On obtient alors :

Fumeurs Non fumeurs Total

Consommateurs Non d'alcoolconsommateurs 35 45 15 50 55 100

Total 80 70 150

On peut alors, par lecture directe du tableau, dire que : 45 personnes sont des fumeurs ne consommant pas régulièrement de l'alcool, 15 personnes consomment régulièrement de l'alcool et ne sont pas fumeurs, 55 personnes ne sont pas fumeurs et ne consomment pas régulièrement de l'alcool. Et par addition des nombres contenus dans les cellules grisées,...
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