Dérivation
I) Notions de limite d'une fonction en 0 et de taux d'accroissement :
► notion de limite en 0 d'une fonction : une fonction définie sur un intervalle contenant 0 ou bornée par 0
Soit
comme ]0 ; +

[ , ]–

; 0[ , ]a ; 0[ ou ]0 ; a[ avec a

.

Etudier la limite de la fonction quand x tend vers 0 revient à observer le comportement de la fonction (les valeurs de (x)) quand x se rapproche de 0. y Ex : en observant la courbe représentative de cette fonction f, on peut conjecturer (supposer) que la limite de la fonction f quand x tend vers 0 est le nombre 1.

2

(x) = 3x + 2x + 1

.
.
...
1

2

On écrit lim (x) = 1 ou lim 3x + 2x + 1 = 1 x→0 x→0

0

► notion de taux d'accroissement d'une fonction :
Observons la courbe représentative de la fonction précédente f.

x

1

6
Les valeurs de f(x) passent de 2 à 6.
L'accroissement
est 6 – 2 = 4

- le taux d'accroissement de la fonction entre –1 et 1 est égal à 2.
La différence entre l'abscisse d'arrivée et celle de départ est: (1 – (–1)) est 2
La différence de leurs images respectives est :
(1) – (–1) = 6 – 2 = 4.
Le taux d'accroissement est le rapport de la différence des
4
images par la différence des abscisses donc soit 2.
2

1
–1

0

1

Les valeurs de x passent de –1 à 1.
L'accroissement est
1 – (–1) = 2

- le taux d'accroissement de la fonction entre 0 et 1 est égal à 5:
La différence des abscisses (1 – 0) est 1 et celle des images (6 – 1) est de 5.
5
taux d'accroissement de la fonction entre 0 et 1 : = 5
1
- le taux d'accroissement de la fonction entre –1 et 0 est égal à –1:
La différence des abscisses (0 – (–1)) est 1 et celle des images (1 – 2) est – 1.
–1
taux d'accroissement de la fonction entre –1 et 0 :
= –1
1
attention, un taux d'accroissement peut être négatif !!

1

http://www.maths-videos.com

II) Nombre dérivé d'une fonction en un point - Tangente : définition : Soit une fonction définie sur un intervalle I; a et a + h sont deux nombres réels appartenant à I avec h 0. f (a + h) – f (a)
Le taux