Derivabilites et aplications

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Dérivabilité

Z  ZZ  Z    Z Z  Z Z

Exo7

1

Calculs

Exercice 1 Déterminer a, b ∈ R de manière à ce que la fonction f définie sur R+ par : √ f (x) = x si 0 x 1 et f (x) = ax2 + bx + 1 soit dérivable sur R∗ . +
Indication Correction

si x > 1
[000699]

Exercice 2 1 Soit f : R∗ −→ R définie par f (x) = x2 sin . Montrer que f est prolongeable par continuité en 0 ; on note xencore f la fonction prolongée. Montrer que f est dérivable sur R mais que f n’est pas continue en 0.
Indication Correction
[000700]

Exercice 3 Étudier la dérivabilité des fonctions suivantes : 1 f1 (x) = x2 cos , si x = 0 x

;

f1 (0) = 0; f2 (0) = 0; ; f3 (1) = 1.
[000698]

1 ; f2 (x) = sin x sin , si x = 0 x √ |x| x2 − 2x + 1 f3 (x) = , si x = 1 x−1
Indication Correction

Exercice4 Soit n ≥ 2 un entier fixé et f : R+ = [0, +∞[−→ R la fonction définie par la formule suivante : f (x) = 1. 1 + xn , x ≥ 0. (1 + x)n

(a) Montrer que f est dérivable sur R+ et calculer f (x) pour x ≥ 0. (b) En étudiant le signe de f (x) sur R+ , montrer que f atteint un minimum sur R+ que l’on déterminera.

2.

(a) En déduire l’inégalité suivante : (1 + x)n ≤ 2n−1 (1 + xn ), ∀x ∈ R+ . (b)Montrer que si x ∈ R+ et y ∈ R+ alors on a (x + y)n ≤ 2n−1 (xn + yn ).

Correction

[000739]

1

2 Théorème de Rolle et accroissements finis
Exercice 5 Montrer que le polynôme X n + aX + b, (a et b réels) admet au plus trois racines réelles.
Indication Correction
[000717]

Exercice 6 Montrer que le polynôme Pn défini par Pn (t) =
Indication Correction

1 − t2

n (n)

est unpolynôme de degré n dont les racines sont réelles, simples, et appartiennent à [−1, 1].
[000715]

Exercice 7 Dans l’application du théorème des accroissements finis à la fonction f (x) = αx2 + β x + γ sur l’intervalle [a, b] préciser le nombre “c” de ]a, b[. Donner une interprétation géométrique.
Correction
[000721]

Exercice 8 Soient x et y réels avec 0 < x < y. 1. Montrer que x< 2. On considère lafonction f définie sur [0, 1] par α → f (α) = ln(αx + (1 − α)y) − α ln x − (1 − α) ln y. De l’étude de f déduire que pour tout α de ]0, 1[ α ln x + (1 − α) ln y < ln(αx + (1 − α)y). Interprétation géométrique ?
Indication Correction
[000724]

y−x < y. ln y − ln x

3 Divers
Exercice 9 Déterminer les extremums de f (x) = x4 − x3 + 1 sur R.
Correction
[000733]

Exercice 10 Soit f : R −→ Rdéfinie par f (x) = (1 − k)3 x2 + (1 + k)x3 où k est un nombre réel. Déterminer les valeurs de k pour lesquelles l’origine est un extremum local de f .
Correction
[000728]

Exercice 11 Soient f , g : [a, b] −→ R deux fonctions continues sur [a, b] (a < b) et dérivables sur ]a, b[. On suppose que g (x) = 0 pour tout x ∈]a, b[. 2

1. Montrer que g(x) = g(a) pour tout x ∈]a, b[.
f (b)− f (a)2. Posons p = g(b)−g(a) et considérons la fonction h(x) = f (x) − pg(x) pour x ∈ [a, b]. Montrer que h vérifie les hypothèses du théorème de Rolle et en déduire qu’il existe un nombre réel c ∈]a, b[ tel que

f (c) f (a) − f (b) = . g(a) − g(b) g (c) 3. On suppose que limx→b−
f (x) g (x)

= , où est un nombre réel. Montrer que lim− f (x) − f (b) = . g(x) − g(b)

x→b

4. Application. Calculerla limite suivante : Arccos x lim− √ . x→1 1 − x2
Indication Correction
[000738]

Exercice 12 On considère la fonction f : R → R définie par f (t) = e1/t 0 si t < 0 si t ≥ 0

1. Démontrer que f est dérivable sur R, en particulier en t = 0. 2. Etudier l’existence de f (0). 3. On veut montrer que pour t < 0, la dérivée n-ième de f s’écrit f (n) (t) = où Pn est un polynôme. (a) Trouver P1 et P2. (b) Trouver une relation de récurrence entre Pn+1 , Pn et Pn pour n ∈ N∗ . 4. Montrer que f est de classe C∞ .
Correction
[000740]

Pn (t) 1/t e t 2n

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Indication pour l’exercice 1 Vous avez deux conditions : il faut que la fonction soit continue (car on veut qu’elle soit dérivable donc elle doit être continue)...
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