Derivation

Disponible uniquement sur Etudier
  • Pages : 6 (1421 mots )
  • Téléchargement(s) : 0
  • Publié le : 9 mai 2011
Lire le document complet
Aperçu du document
COURS DE MATHEMATIQUES Fichier .pdf du cours en vid´o du mˆme nom e e

La d´rivation e
D´riv´e de l’inverse d’une fonction r´elle e e e
Ce cours porte exclusivement sur la notion de d´riv´e relative a l’inverse e e ` d’une fonction r´elle. e

1

L’id´e g´n´rale e e e

Une fonction r´elle est un op´rateur qui associe automatiquement a un e e ` nombre r´el, appel´ ant´c´dent, un autrenombre r´el, appel´ image. e e e e e e Une fonction est telle qu’un ant´c´dent n’a qu’une seule image, mais qu’une e e image peut avoir plusieurs ant´c´dents. e e

1

2
2.1

La th´orie e
La d´riv´e de l’inverse d’une fonction r´elle e e e

Soit f une fonction r´elle d´finie et d´rivable sur un intervalle D, telle e e e que ∀x ∈ D, f (x) = 0. 1 La fonction est une fonction d´finie etd´rivable sur D, qui admet pour e e f −f fonction d´riv´e 2 . e e f

3

Attention !

Avant de calculer la d´riv´e d’une fonction, il faut absolument d’une part e e d´terminer son ensemble de d´finition, et d’autre part v´rifier que la fonction e e e consid´r´e est d´rivable sur cet intervalle. ee e Par ailleurs, dans la mesure o` l’on consid`re ici l’inverse d’une fonction, il ne u e faut pas oublierde v´rifier que la fonction ne s’annule jamais sur l’intervalle e ´tudi´. e e

2

4
4.1

Exercice th´orique e
Exercice 1

Soit la fonction f : x → ax2 + bx + c, o` a ∈ R , b ∈ R et c ∈ R . u D´terminer la fonction d´riv´e de l’inverse de la fonction f . e e e Avant de s’int´resser a la d´riv´e de l’inverse de la fonction f , il faut e ` e e s’occuper de l’ensemble de d´finition et de lad´rivabilit´. Il s’agit ici de e e e d´terminer les r´els qui v´rifient f (x) = 0, de fa¸on a les exclure de l’ene e e c ` semble de d´finition de l’inverse de la fonction f . On sait (voir le cours e “Les ´quations du second degr´ - R´solution”) que f (x) = 0 pour e e √ √e −b − ∆ −b + ∆ x1 = et x2 = , o` ∆ repr´sente le discriminant de u e 2a 2a 2 l’´quation du second degr´ ax + bx + c = 0. Parcons´quent, l’inverse de e e e la fonction f est d´finie sur R − {x1 ; x2 } (voir le cours “Les fonctions e e e r´elles - Intervalles et ensemble de d´finition”). De plus, l’inverse de la fonction f est d´rivable sur R − {x1 ; x2 } (voir le cours “La d´rivation e e D´rivabilit´”). e e La d´riv´e de l’inverse de la fonction f est fournie par la relation suivante : e e −f 1 = f f2 −(ax2 + bx + c) = (ax2 + bx+ c)2 −[(ax2 ) + (bx) + (c) ] = (ax2 + bx + c)2 −(2ax + b × 1 + 0) = (ax2 + bx + c)2 −2ax − b = (ax2 + bx + c)2 La fonction d´riv´e de l’inverse de la fonction f est la fonction d´finie sur e e e 1 −2ax − b R − {x1 ; x2 } par . = f (ax2 + bx + c)2 3

5
5.1

Exercices pratiques
Exercice 2

Soit la fonction f : x → 3x2 + 2x + 1. D´terminer la fonction d´riv´e de l’inverse de la fonction f .e e e Avant de s’int´resser a la d´riv´e de l’inverse de la fonction f , il faut e ` e e s’occuper de l’ensemble de d´finition et de la d´rivabilit´. Il s’agit ici de e e e d´terminer les r´els qui v´rifient f (x) = 0, de fa¸on a les exclure de l’ene e e c ` semble de d´finition de l’inverse de la fonction f , ce qui revient a r´soudre e ` e 2 2 l’´quation 3x + 2x + 1 = 0. Le discriminant ∆ = 2 − 4× 3 × 1 = −8 e est n´gatif, donc l’expression 3x2 + 2x + 1 n’est jamais nulle ∀x ∈ R. Par e cons´quent, l’inverse de la fonction f est d´finie sur R (voir le cours “Les e e e e fonctions r´elles - Intervalles et ensemble de d´finition”). De plus, l’inverse de la fonction f est d´rivable sur R (voir le cours “La d´rivation e e - D´rivabilit´”). e e La d´riv´e de l’inverse de la fonction f est fourniepar la relation suivante : e e 1 −f = f f2 −(3x2 + 2x + 1) = (3x2 + 2x + 1)2 −[(3x2 ) + (2x) + (1) ] = (3x2 + 2x + 1)2 −(3 × 2x + 2 × 1 + 0) = (3x2 + 2x + 1)2 −6x − 2 = 2 + 2x + 1)2 (3x La fonction d´riv´e de l’inverse de la fonction f est la fonction d´finie sur R e e e 1 −6x − 2 par . = f (3x2 + 2x + 1)2 4

5.2

Exercice 3

Soit la fonction f : x → x2 + 2x − 3. D´terminer la fonction...
tracking img