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La d´rivation e
D´riv´e de l’inverse d’une fonction r´elle e e e
Ce cours porte exclusivement sur la notion de d´riv´e relative a l’inverse e e ` d’une fonction r´elle. e

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L’id´e g´n´rale e e e

Une fonction r´elle est un op´rateur qui associe automatiquement a un e e ` nombre r´el, appel´ ant´c´dent, un autre nombre r´el, appel´ image. e e e e e e Une fonction est telle qu’un ant´c´dent n’a qu’une seule image, mais qu’une e e image peut avoir plusieurs ant´c´dents. e e

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2.1

La th´orie e
La d´riv´e de l’inverse d’une fonction r´elle e e e

Soit f une fonction r´elle d´finie et d´rivable sur un intervalle D, telle e e e que ∀x ∈ D, f (x) = 0. 1 La fonction est une fonction d´finie et d´rivable sur D, qui admet pour e e f −f fonction d´riv´e 2 . e e f

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Attention !

Avant de calculer la d´riv´e d’une fonction, il faut absolument d’une part e e d´terminer son ensemble de d´finition, et d’autre part v´rifier que la fonction e e e consid´r´e est d´rivable sur cet intervalle. ee e Par ailleurs, dans la mesure o` l’on consid`re ici l’inverse d’une fonction, il ne u e faut pas oublier de v´rifier que la fonction ne s’annule jamais sur l’intervalle e ´tudi´. e e

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4.1

Exercice th´orique e
Exercice 1

Soit la fonction f : x → ax2 + bx + c, o` a ∈ R , b ∈ R et c ∈ R . u D´terminer la fonction d´riv´e de l’inverse de la fonction f . e e e Avant de s’int´resser a la d´riv´e de l’inverse de la fonction f , il faut e ` e e s’occuper de l’ensemble de d´finition et de la d´rivabilit´. Il s’agit ici de e e e d´terminer les r´els qui v´rifient f (x) = 0, de fa¸on a les exclure de l’ene e e c ` semble de d´finition de l’inverse de la fonction f . On sait (voir le cours e “Les ´quations du second degr´ - R´solution”) que f (x) = 0 pour e e √ √e −b − ∆ −b + ∆ x1 = et x2 = , o` ∆ repr´sente le discriminant de u e 2a 2a 2 l’´quation du second degr´ ax + bx + c = 0. Par