Derivation

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  • Publié le : 20 décembre 2009
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Chapitre : D´rivation e
I)
a)

Fonction d´rivable e
D´rivabilit´ en un point e e

D´finition 1. Soient f : I −→ e fonction

R une fonction et a ∈ I. La fonction f
x −→

est d´rivable en a si la e

f (x) − f (a) x−a admet une limite finie lorsque x tend vers a. Cette limite est appel´e nombre d´riv´ de f en a et e e e est not´e f (a) : e f (x) − f (a) f (a) = lim . x→a x−a √
1 1 ,valeur absolue, x sin x et x2 sin x .

Exemples. xn , la fonction inverse,

Par un changement de variable, on peut ´galement ´crire que si f est d´rivable en a, alors e e e f (a) = lim – On note ε(h) =
f (a+h)−f (a) h

f (a + h) − f (a) . h→0 h
h→0

− f (a). Alors lim ε(h) = 0. En exprimant f en fonction de ε, on en

d´duit qu’il existe une fonction ε d´finie dans un voisinage de 0 delimite nulle en 0 telle que e e pour h dans un voisinage de 0, f (a + h) = f (a) + hf (a) + hε(h). – R´ciproquement si il existe L ∈ et une fonction ε d´finie dans un voisinage de 0 de limite nulle e e en 0 telle que pour h dans un voisinage de 0, f (a + h) = f (a) + Lh + hε(h). On en d´duit que e f (a + h) − f (a) − L = ε(h) − → 0, − h→0 h d’o` f est d´rivable en a avec f (a) = L. u e Il en r´sulte leth´or`me suivant qui est la deuxi`me d´finition de la d´rivabilit´ en un point. e e e e e e e Th´or`me 1. Soient f : I −→ e e une fonction et a ∈ I. La fonction f est d´rivable en a si, et e seulement si, il existe L ∈ et une fonction ε d´finie dans un voisinage de 0 de limite nulle en 0 e telle que pour h dans un voisinage de 0,

R

R

R

f (a + h) = f (a) + Lh + hε(h) . De plus dans cecas, f (a) = L et on dit que f admet un d´veloppement limit´ d’ordre 1 en a. e e 1

D´rivation e Remarques. – On dit que h −→ f (a) + f (a)h est la meilleure approximation affine de f au voisinage de a. – On peut ´crire le d´veloppement limit´ sous la forme e e e f (x) = f (a) + f (a)(x − a) + (x − a)ε(x − a) o` x est dans un voisinage de a. u – Si f est d´rivable en a, alors f est continue en a.La r´ciproque est fausse. e e

2

D´finition 2. Soient f : I −→ une fonction et a ∈ I. La fonction f est dite d´rivable ` droite e e a (resp. ` gauche) en a si la restriction f| I∩[a,+∞[ (resp. f| I∩]−∞,a] ) est d´rivable en a. On note fd (a) a e (resp. fg (a)) le nombre d´riv´e en a de cette restriction. Dans ces cas, on a e e fd (a) = lim+
x→a

R

f (x) − f (a) f (x) − f (a) et fg (a) =lim− . x→a x−a x−a

Remarques. – f d´rivable ` droite en a =⇒ f continue ` droite en a. e a a – f d´rivable ` gauche en a =⇒ f continue ` gauche en a. e a a – f d´rivable en a ⇐⇒ f d´rivable ` droite et ` gauche en a avec fd (a) = fg (a). De plus dans ce e e a a cas, cette valeur commune est le nombre d´riv´ de f en a. Cette derni`re propri´t´ fournit des e e e ee crit`res de non d´rivabilit´ parcontrapos´e. e e e e

b)

D´rivabilit´ sur un intervalle e e

D´finition 3. On dit qu’une fonction f est d´rivable sur I si f est d´rivable en chaque point de e e e I et on d´finit l’application d´riv´e de f par e e e f : I −→ x −→ f (x). L’ensemble des fonctions d´rivables sur I ` valeurs dans e a

R

R est not´ D(I, R). e

On remarque que si f est d´rivable sur I, alors f est continuesur I. En Physique, l’application e d´riv´e est ´galement not´e df ou f˙. e e e e dx

c)

Interpr´tations e

1. En g´om´trie, la fraction f (x)−f (a) est la pente de la s´cante ` Cf passant par les points A(a, f (a)) e e e a x−a et M (x, f (x)). Si f est d´rivable en a, la s´cante a une position limite qu’on appelle tangente e e a ` la courbe Cf en A. Le nombre d´riv´e f (a) repr´sente lapente de cette tangente qui a pour e e e ´quation : e y = f (a) + f (a)(x − a) . Si f (x)−f (a) tend vers une limite infinie lorsque x tend vers a, alors la position limite de la s´cante e x−a est la droite verticale x = a, i.e. la courbe Cf admet une tangente verticale en A. 2. En cin´matique, si f (t) repr´sente la position ` l’instant t sur une droite d’un point mobile, le e e a f (t)−f (a)...
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