82930CTPA0113

BTS Service Informatiques aux Organisations

Mathématiques
Première année

Devoir 1
Exercice 1 (Calcul propositionnel) (4,5 points)
1. (0,5 point) La proposition P « l’adresse IP est inconnue ou son masque est inconnu». (Loi de Morgan)
2. (0,5 point) Si l’adresse IP et son masque sont connus alors l’adresse de l’hôte est connue.
3. (0,5 point)

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P Q

Q

P∧Q

0

0

1

0

0

1

0

0

1

0

1

1

1

1

0

0

P

Q

P ⇒ Q

P⇒Q

0

0

1

0

0

1

1

0

1

0

0

1

1

1

1

0

1/6

4. (0,5 point) Les valeurs logiques des tables de vérité de P ∧ Q et de P ⇒ Q sont les mêmes donc

P∧Q ⇔ P ⇒ Q.
5. Une tautologie est une proposition toujours vraie selon les règles du calcul propositionnel.
a. (0,5 point)
A

A

A∨ A

0

1

1

1

0

1

La proposition A ∨ A est toujours vraie, il s’agit bien d’une tautologie.
b. (0,5 point) Remplaçons A par P ⇒ Q dans la proposition du 4a. on obtient que

( P ⇒ Q ) ∨ ( P ⇒ Q ) est une tautologie, et comme l’on sait que P ∧ Q ⇔ P ⇒ Q , on en déduit que P ∧ Q ∨ ( P ⇒ Q ) est encore une tautologie.
c. (1 point)

(P ⇒ Q) ∧ (P ∧ Q)
⇔ P ⇒ Q ∨ P ∧ Q (loi de Morgan)

(

)

⇔ ( P ⇒ Q ) ∨ P ∨ Q (involution et loi de Morgan)
⇔ P∨Q∨ P∨Q

(

) (

(définition de ⇒ )

)

⇔ P ∨ P ∨ Q ∨ Q (associativité)
⇔ P ∨ 1(idem potence et tiers exclu)
⇔1
d. La proposition ( P ⇒ Q ) ∧ ( P ∧ Q ) elle une tautologie car elle est toujours vraie d’après c.
(0,5 point)

Exercice 2 (Algèbre de Boole) (5 points)
1.

cab (0,25 point)

2.

a + c signifie, ici, « voyager en train ou seul ». (0,25 point)

3. bc + ab + ba + bc + abc (0,5 point)
4.

( )

bc + ab+ ba + bc + abc = bc + a b+ b + bc + abc = bc + a.1+ bc + abc = bc + a + bc + abc (1 point)

5. (0,75 point) bc 00

01

11

10

a

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0

1

1

1

1
1

1

1

2/6

6. (0,5 point)
Il est possible de réaliser deux regroupements de quatre « 1 » les quatre « 1 » en caractères gras correspondent à a les quatre « 1 » en caractères non italiques correspondent à c
Ce qui conduit à l’expression