4ème année Section : Maths

Sujet de révision n°1

Mai 2010 A. LAATAOUI

Thèmes abordés : Complexes (Coniques) ; Arithmétiques ; Similitudes ; Fonction logarithme népérien et exponentielle Exercice n°1 : © r r Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct O, u , v .

(

)

1. Résoudre dans £ l’équation z 2 + z + 1 = 0 . 2. Pour tout complexe z tel que z = eiq avec -p £ q £ p , q ¹ a) Vérifier que z 2 + z + 1 = z 1 + z + z .

2p 3

et q ¹ -

2p 3

, on pose z ' =

1 z + z +1
2

.

(

)

b) Calculer le module et un argument de z’ en fonction de q . 2 c) On pose z ' = x + iy avec ( x, y ) Î ¡ 2 . Montrer que x 2 + y 2 = (1 - 2 x ) . d) En déduire que le point M d’affixe z’ appartient à une hyperbole que l’on caractérisera. Exercice n°2 : © Partie A : Question de cours 1. Énoncer le théorème de Bézout et le théorème de Gauss. 2. Démontrer le théorème de Gauss en utilisant le théorème de Bézout. Partie B Il s’agit de résoudre dans ¢ le système ( S ) ï í ì n º 13 ( 19 ) ï n º 6 ( 12 ) î

.

1. Démontrer qu’il existe un couple (u ; v) d’entiers relatifs tel que : 19u + 12v = 1. (On ne demande pas dans cette question de donner un exemple d’un tel couple). Vérifier que, pour un tel couple, le nombre N = 13 ´ 12v + 6 ´ 19u est une solution de (S). ì n º n0 ( 19 ) 2. a. Soit n0 une solution de (S), vérifier que le système (S) équivaut à ï . í ï n º n0 ( 12 ) î ì n º n0 ( 19 ) b. Démontrer que le système ï équivaut à n º n0 ( 12 ´ 19 ) . í ï n º n0 ( 12 ) î 3. a. Trouver un couple (u ; v) solution de l’équation 19u + 12v = 1 et calculer la valeur de N correspondante. b. Déterminer l’ensemble des solutions de (S) (on pourra utiliser la question 2. b.). 4. Un entier naturel n est tel que lorsqu’on le divise par 12 le reste est 6 et lorsqu’on le divise par 19 le reste est 13. On divise n par 228 = 12 ´ 19. Quel est le reste r de cette division ?

Exercice n°3 : © uur uur · p ABC est un triangle rectangle en A et de sens direct