Devoir de maths terminale s nombres complexes

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Mardi 4 janvier 2010.

Mathématiques. TS. 1 heure. Calculatrice interdite. Exercice 1 (3.5 pts) Donner la forme algébrique des complexes suivants : z1 = (3 − 2i)(1 − i) z4 = (1 − i)² 1 z2 = 3 - i z5 = 3i + 4 3 - 2i z3 = 1 - i z6 = (3 + 2i)(1 + i)

Exercice 2 (2 pts) Déterminer le module et un argument des complexes suivants : z1 = −5 z2 = 63i z3 = -2(1 − i)

Exercice 3 (3 pts) Déterminer laforme trigonométrique des complexes suivants : z1 = 3 + i z2 = 3(-1 + i) 1-i 3 z3 = sin(π/6) + i cos(π/6)

Exercice 4 (3 pts) a. Calculer le module et un argument de z = ( 3 - i)10 . b. En déduire sa forme algébrique. Exercice 5 (4 pts) Dans un repère (O ; u , v ) orthonormé positif du plan, A, B et C sont les points d’affixes respectives : a = −1 + i, b = 3 − i et c = −2 − i. → → a. Déterminerles affixes des vecteurs AB et AC b. Calculer AB et AC → → c. Déterminer une mesure de (AB ; AC). Peut-on en déduire la nature du triangle ABC ? → → d. Déterminer une mesure de l’angle orienté (u ; OA). Exercice 6 (2 pts) → → Dans un repère (O ; u , v ) orthonormé direct du plan, déterminer l’ensemble des points M du plan tels que : a. |z – 2 + i| = |z + 3i| b. |z + 4 – i| = 2 Exercice 7 (2.5pts) a. Démontrer qu’un nombre complexe z est imaginaire pur, si et seulement si : − = − z. z b. Démontrer que pour tout nombre complexe z et z’, on a l’égalité : z × z ' = z × z ' . Pré-requis : Forme algébrique d’un nombre complexe et de son conjugué.
→ →

Corrigé du Test Exercice 1 (3.5 pts) Donner la forme algébrique des complexes suivants : z1 = (3 − 2i)(1 − i) = 3 – 3i – 2i – 2 = 1 – 5i 3 -2i (3 - 2i)(1 + i) 3 + 3i - 2i + 2 5 + i z3 = 1 - i = (1 - i)(1 + i) = = 2 2 z5 = 3i + 4 = 4 – 3i Exercice 2 (2 pts) Déterminer le module et un argument des complexes suivants : z1 = −5: |z1| = 5
cos(argz1) = -1 donc sin(argz ) = 0 
1

1 3+i 3+i z2 = 3 - i = (3 - i)(3 + i) = 10 z4 = (1 − i)² = 1 – 2i + i² = -2i z6 = (3 + 2i )(1 + i ) = (3 + 2i )(1 + i ) = z1

d’où arg z1 = π + 2kπ π d’oùarg z2 = 2 + 2kπ

z2 = 63i

|z2| = 63

cos(argz2) = 0 donc sin(argz ) = 1 
2

z3 = −2(1 − i)

|z3| = 2 2

cos(argz3) = -1/ 2  3π donc  d’où arg z3 = 4 + 2kπ  sin(argz3) = 1/ 2

Exercice 3 (3 pts) Déterminer la forme trigonométrique des complexes suivants :
cos(argz ) = 3/2 π 1 |z1| = 2 donc  d’où arg z1 = 6 + 2kπ et z1 = 2(cos(π/6) + i sin(π/6)) sin(argz1) = 1/2 3(-1 +i) z > z2 = = z' avec z = -3 + 3i et z’ = 1 - i 3 1-i 3  cos(argz) = -1/ 2 3π -> |z| = 18 = 3 2 donc  d’où arg z = 4 + 2kπ  sin(argz) = 1/ 2 cos(argz') = 1/2 π -> |z’| = 2 donc  d’où arg z’ = −3 + 2kπ sin(argz') = - 3/2 |z| 3 2 3π π 13π 11π -> |z2| = |z'| = 2 et arg z2 = arg z − arg z’ + 2kπ = 4 + 3 + 2kπ = 12 + 2kπ = − 12 + 2kπ 3 2 11π 11π z2 = 2 (cos (− 12 ) + i sin (− 12 )) π π π π π π> z3 = sin(π/6) + i cos(π/6) = cos(2 − 6 ) + i sin(2 − 6 ) donc z3 = cos 3 + i sin 3

> z1 = 3 + i

Exercice 4 (3 pts) a. Calculer le module et un argument de z = ( 3 - i)10 . on pose a = 3 − i |a| = 2 donc a = 2[ 3/2 − i/2] = 2[cos (−π/6) + i sin (−π/6)] et donc arg a = − π/6 + 2kπ > |z| = |a10| = |a|10 = 210 (= 1024) > arg z = arg (a10) + 2kπ = 10× arg (a) + 2kπ = −10π/6 + 2kπ = −5π/3 + 2kπ= π/3 + 2kπ b. En déduire sa forme algébrique. z = 1024(cos(π/3) + i sin(π/3)) = 1024(1/2 + i 3/2) = 512 + 512 i 3

Exercice 5 (4 pts) Dans un repère (O ; u , v ) orthonormé positif du plan, A, B et C sont les points d’affixes respectives : a = −1 + i, b = 3 − i et c = −2 − i. → → a. Déterminer les affixes des vecteurs AB et AC : → → zAB = b − a = 4 − 2i et zAC = c − a = −1 − 2i
→ → b.Calculer AB et AC : AB = | zAB | = 2 5 et AC = | zAC | = 5





c. Déterminer une mesure de (AB ; AC). Peut-on en déduire la nature du triangle ABC ? → → c-a (AB ; AC) = arg b - a + 2kπ → → c - a -1 - 2i 1 + 2i (1 + 2i)(-4 - 2i) -i -i or b - a = 4 - 2i = -4 + 2i = (-4 + 2i)(-4 - 2i) = … = 2 et arg 2 = − π/2 + 2kπ donc (AB ; AC) = −π/2 + 2kπ on en déduit que la triangle ABC est rectangle...
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